Samarqand davlat

Ko‘plab korrelyatsiya koeffitsiyenti bir o„zgaruvchining bir

nechtasiga bog„liqlik darajasini aniqlaydi.
Korrelyatsiya koeffitsiyenti x va y o„rtasida bog„liqlikning bor yoki yo„qligini ko„rsatadi, lekin u funksiyaning ko„rinishini bermaydi. Korrelyatsion bog„liqlikni o„rganishda aloqa shaklini tavsiflash uchun yaqinlashgan regressiya tenglamasidan foydalaniladi.
Regression tahlil bog„liq bo„lgan kattalik y va bog„liq bo„lmagan x₁, ….. , x_i o„zgaruvchilar o„rtasidagi bog„liqlikni nazarda tutadi (qaraydi). Ushbu bog„liqlik matematik model yordamida beriladi, ya‟ni u bog„liq va bog„liq bo„lmagan o„zgaruvchilarni bog„laydi.
Regression tahlil asoslanadigan shart-sharoitlarni sanab o„tamiz:

1. 
   y₁, y₂, ..... , y_n ni kuzatish natijalari bog„liqmaslikni tashkil etadi, mo„‟tadil taksimlangan tasodifiy kattaliklar;
   
2. 
   chiqish x_i parametrlari y ning o„lchash xatosiga nisbatan juda kam xato bilan o„lchanadi;
   
3. 
   y chiqish parametrining tanlangan 𝑆², 𝑆², , 𝑆²
   

1 2 ^𝑛
dispersiyalari qiymatlari bir xil parallel tajribalarda olingan
qiymatlari bilan bir xil bo„lishi kerak.

Tajriba natijalarini qayta ishlashda korrelyatsion va regression tahlil qo„llanilganda statistik matematik modelni regressiya tenglamasi ko„rinishida tuzish imkonini beradi.
Shunday qilib, korrelyatsion va regression tahlil usullari o„zaro chambarchas bog„langan.
Bog„liqlik shaklini harakterlash uchun regressiya tenglamalaridan foydalaniladi.
Masalaning qo„yilishi.
Berilgan tanlov hajmi n bo„yicha yaqinlashgan regressiya tenglamasini topish va bunda yo„l qo„yiladigan xatoni baholash. Ushbu masala korrelyatsion va regression tahlil usullarida hal etiladi.
𝑦̂ = ƒ(𝑥) topilishi kerak.
Nuqtalarning zichligi bo„yicha ma‟lum bog„liqlikni topish, ya‟ni regressiya tenglamasi ko„rinishini mumkin. Agar no„qtalar juda tarqoq bo„lsa, u holda regressiya bo„lmaydi.
Regressiya tenglamasining ko„rinishi yaqinlashuv usulining tanlanishiga bog„liq.
Odatda qisqa kvadratlar usulidan foydalaniladi:
𝑁

yoki
𝐹 = ∑(𝑦_i − ƒ(𝑥_i))² = 𝑚i𝑛,
i=1

𝑁
𝐹 = ∑(𝑦_i − 𝑦̂_i)² = 𝑚i𝑛,

i=1
(7.10)

(7.11)

bunda 𝑦_i, 𝑦̂_i – mos ravishda chiqish kattaliklarining tajribaviy va hisoblangan qiymatlari.
Passiv tajribalar natijalarini qayta ishlashda chiziqli va chiziqlimas empirik modellar olinadi, ular tajriba ma‟lumotlarning barcha to„plamini aniq tasvirlashi kerak. Bu holda asosiy qiyinchilik modeli ko„rinishini to„g„ri tanlash va modeli parametrlarini (tenglama koeffitsiyentlarini) aniqlashdan iborat.
Yaqinlashuv regressiyasining turli holatlarini ko„rib chiqamiz.

1. Bog„liq bo„lmagan bir o„zgaruvchili chiziqli regression model

Bir parametrdan chiziqli regressiya holatini qaraymiz.

Kimyoviy-texnologik jarayonlarni modellashtirishda ko„pgina holatlarda kirish (x) va chiqish (y) parametrlari o„rtasidagi o„zaro bog„liqlikni chiziqli tenglama bilan approksimirlash (ifodalash) mumkin:
𝑦̂ = 𝑏_𝑜 + 𝑏₁𝑥. (7.12)
Matematik modelning ko„rinishini olish uchun regressiya tenglamasi 𝑏_𝑜 va 𝑏₁ koeffitsiyentlarini aniqlash kerak. Buning uchun qisqa kvadratlar usuli (QKU) qo„llaniladi:
𝑁

𝐹 = ∑(𝑦_i − 𝑏_𝑜 − 𝑏₁𝑥_i)²
i=1
= 𝑚i𝑛.

Shunday qilib, regressiya koeffitsiyentlarini topish tartibi funksiya
minimumina aniqlash masalasiga olib keladi. Funksiya ekstremumining yetarli sharti izlanadigan kattaliklar (koeffitsiyentlar) bo„yicha funksiyadan olingan xususiy hosilaning nulga teng bo„lishidir.
𝑁

_ﻟ ∂
I∂𝑏₀
^❪ ∂𝐹
= −2 ∑(𝑦_i
i=1
𝑁
− 𝑏₀
− 𝑏₁
𝑥_i) · 1 = 0;

_I𝗅∂𝑏₁
= −2 ∑(𝑦_i − 𝑏₀ − 𝑏₁𝑥_i) · 𝑥_i = 0;
i=1

∑(𝑦_i − 𝑏₀ − 𝑏₁𝑥_i) = 0 ;
{
∑(𝑦_i − 𝑏₀ − 𝑏₁𝑥_i) · 𝑥_i = 0 ;
(7.13)

𝑛𝑏₀ + 𝑏₁ ∑ 𝑥_i = ∑ 𝑦_i 0 ;
{

i
𝑏₀ ∑ 𝑥_i + 𝑏_i ∑ 𝑥² = ∑ 𝑥_i𝑦_i .

Tenglamalar sistemasini qisqa kvadratlar usulida yochamiz.

Natijada 𝑏₀ va 𝑏₁ koeffitsiyentlarni hisoblash formulasini olamiz:

| ^∑ 𝑦_i ^∑ 𝑥_i |

^∑ 𝑥 𝑦 ^∑ 𝑥^2
∑ 𝑦_i ^∑ 𝑥² − ^∑ 𝑥_i𝑦_i ^∑ 𝑥_i

_{𝑏0 =} ^{i i} i ₌
𝑁 ^∑ 𝑥_i
ⁱ ; (7.14)

i
𝑁 ^∑ 𝑥² − (^∑ 𝑥_i)²

i i
^|∑ 𝑥 ^∑ 𝑥^2|

𝑏₁

_| 𝑁 ^∑ 𝑦_{i |
=} ^∑ 𝑥_i ^∑ 𝑥_i𝑦_i
𝑁 ^∑ 𝑥_i
𝑁 ^∑ 𝑥_i𝑦_i − ^∑ 𝑥_i ^∑ 𝑦_i

i

i
⁼ 𝑁 ^∑ 𝑥² − (^∑ 𝑥 )²
. (7.15)

i i
^|∑ 𝑥 ^∑ 𝑥^2|
(7.12) tenglama koeffitsiyentlari hisoblanganidan keyin olingan matematik modelning tadqiqiga kirishiladi. Bunday tadqiqga statistik (regression) tahlil deyiladi. Ushbu tahlilning ketma-ketligini qaraymiz.

2. Olingan natijalarning statistik tahlili

1. 
   Omillar o„rtasidagi o„zaro chiziqli bog„liqlikni baholash uchun (7.5) formula bo„yicha juftli korrelyatsiya koeffitsiyenti hisoblanadi. 𝑟_𝑥𝑦 ning qiymati qancha 1 ga yaqin bo„lsa, chiziqli bog„liklikning ehtimoliyati shuncha yuqori bo„ladi. O„z-o„zidan berilgan oraliqda x va y o„rtasidagi bog„liqlik quyidagi ko„rinishda bo„ladi:
   

𝑦̂ = 𝑏₀ + 𝑏₁ 𝑥.

2. 
   Dispersiyaning bir xilligini tekshirish:
   

1. 
   parallel tajribalar (agar parallal natijalar bo„lsa) bo„yicha o„rtacha qiymat aniqlanadi:
   

⁽7.16⁾
bunda 𝑚 − parallel tajribalar soni; 𝑁 − tanlovdagi tajribalar soni.

2. 
   tanlangan dispersiya aniqlanadi:
   

3. 
   yig„uvchi dispersiya:
   

𝑁

i
∑ 𝑆² ;
⁽7.17⁾

i=1

4. 
   maksimal dispersiya tanlanadi, nisbat tuziladi:
   

𝑚𝑎𝑥
бунда 𝑆² - tanlangan dispersiyaning maksimal qiymati.
Dispersiyaning bir xilligi Koxren me‟zoni (G) bo„yicha (bir xil miqdordagi tajribalarda) tekshiriladi.
Agar 𝐺 < 𝐺_{𝑡𝑎𝑏𝑙}⁽𝑞, ƒ⁾, u holda dispersiya bir xil, bunda q –
bog„liqlik darajasi; f – erkinlik darajasi soni.
Erkinlik darajjalari soni: f₁=m-1; f₂ = N.

5. 
   
   dispersiya takrorlanishligini aniqlash:
   

Bir xil sondagi m tajribalar uchun erkinlik darajasi soni ƒ =
𝑁1⁽1𝑚 − 1⁾.

3. 
   Styudent me‟oni bo„yicha polinom koeffitsiyentlarining ahamiyatliligi baholanadi (shatr – omillar o„rtasida korrelsiya bo„lmaganda):
   

𝑡_𝑏i =
^|𝑏_i^|



𝑆_𝑏i
(7.20)

bunda 𝑏_i − regressiya tenglamasining i – chi koeffitsiyenti; 𝑆_𝑏i − i – chi koeffitsiyent uchun o„rtacha kvadratik chetlanish.
Chiziqli polinom holati uchun 𝑆_𝑏0 va 𝑆_𝑏i quyidagi formulalar bo„yicha hisoblanadi:

_𝑆2 _∑𝑁
𝑥_i

𝑆_𝑏 = ^√
𝑡𝑎𝑘𝑟 i=1
; (7.19)

0 _{𝑁 ∑}^𝑁
𝑥² − (^∑𝑁
𝑥_i)²

𝑆_𝑏 = ^√
i=1
i

𝑆 𝑁

2𝑡𝑎𝑘𝑟
i=1

. (7.20)

1 _{𝑁 ∑}^𝑁
𝑥² − (^∑𝑁
𝑥_i)²

i=1 i i=1
Omillar soni ikkidan katta bo„lganda bunga o„xshash formulalar juda katta bo„lganligi uchun ishlatilmaydi.
Agar 𝑡_𝑏i > 𝑡_{j𝑎𝑑𝑣}⁽𝑞, ƒ⁾ bo„lsa, u holda 𝑏₁ koeffitsiyent ahamiyatli
bo„ladi (0 dan ahamiyatli farq qiladi). Teskari holatda esa ahamiyatsiz.
Modelning (olingan tenglamaning) adekvatlikka tekshirilishi Fisher me‟zoni (F) bo„yicha amalga oshiriladi.

Agar regressiya tenglamasi bo„yicha tajriba natijalarini nisbatan hisoblangan chiqish kattaligi y ning qoldiq dispersiyasi tajriba xatosidan oshmasa, u holda regressiya tenglamasi tekshiriladigan jarayonni adekvat ifodalaydi deb hisoblanadi.
Agar quyidagi shart bajarilsa,
_𝑆2

𝐹 =
𝑞𝑜𝑙
< 𝐹 ⁽𝑞, ƒ , ƒ
⁾, (7.23)

2

𝑆
𝑡𝑎𝑘𝑟
𝑇 1 2

u holda model adekvat (ya‟ni regressiyaning chiziqli tenglamasi
tekshiriladigan ob‟ektni adekvat ifodalaydi).
Bir xil sondagi parallel tajribalar uchun 𝑚₁ = 𝑚₂ =. . . 𝑚_𝑛 va qoldiq dispersiya uchun ifoda quyidagicha bo„ladi:
^∑𝑁 (𝑦̅_i − 𝑦̂_i)²
𝑆² = ⁱ⁼¹ , (7.24)

𝑞𝑜𝑙
𝑁 − 𝑙

bunda 𝑦̅_i − parallel tajribalar natijalari bo„yicha chiqish parametrlarining
o„rtacha qiymati (7.16); 𝑦̂_i – chiqish parametrining o„rtacha qiymati.
Agar tajribani o„tkazishda tajribalar takrorlanmasa, u holda ifoda quyidagicha bo„ladi:
^∑𝑁 (𝑦_i − 𝑦̂_i)²
𝑆² = ⁱ⁼¹ , (7.25)

𝑞𝑜𝑙
𝑁 − 𝑙

bunda ƒ₁ = 𝑁 − 𝑙 va ƒ₂ = 𝑁⁽𝑚 − 1⁾ − mos ravishda surat va
maxrajning erkinlik darajasi; 𝑙 = 𝑛 + 1 – polinomning aproksimlanadigan hadlari soni (erkin had qo„shilgan holda regressiya koeffitsiyentlari soni); 𝑁 – tajribalarning umumiy soni; 𝑛 – omillar soni (x₁, x₂, ….); y_i – chiqish parametrining tajribaviy qiymatlari.
Agar tajribani o„tkazishda parallel tajribalar qo„yishga imkoniyat

𝑞𝑜𝑙
bo„lmasa, u holda modelni adekvatlikka tekshirish o„rniga tenglamaning approksimatsiyasi sifati baholanadi. Bunga qoldiq dispersiyani 𝑆²

𝑦
nisbiy o„rtacha dispersiya 𝑆² bilan solishtirish orqarli erishiladi:
^∑𝑁 (𝑦_i − 𝑦̅)²

_{𝑆2 =} i=1
, (7.26)

^𝑦 𝑁 − 1

bunda 𝑦 – chiqish parametrining tajribaviy qiymati, 𝑦̅ = ^{1 ∑𝑁}

𝑦 −

i
chiqish paramerining o„rtacha qiymati.
Fisher me‟oni bo„yicha:
_𝑁 i=1 ⁱ

𝐹 =

2

𝑆

𝑆
𝑦



2
𝑞𝑜𝑙
. (7.27)

Bu holatda F ning qiymati 𝐹_j𝑎𝑑⁽𝑞, ƒ₁, ƒ₂⁾ jadvaldagi qiymatdan qancha katta bo„lsa, regressiya tenglamasi tanlangan ahamiyatlilik darajasi q va ƒ₁ = 𝑁 − 𝑙 i ƒ₂ = 𝑁 − 𝑙 erkinlik darajalari uchun shunchalik samarali.
Shunday qilib, Fisher me‟zoni olingan regressiya tenglamasiga nisbatan sochilishning o„rtachaga nisbatan sochilish bilan solishtirish bo„yicha necha marta kamayishini ko„rsatadi.

3. Parabolik regression model

Kimyoviy-texnologik ob‟ektlarning statistik modellarini tuzishda ko„p hollarda chiziqli bo„lmagan tenglamalardan, jumladan, ikkinchi, uchinchi va yuqori darajali parabolalar tenglamalaridan foydalanishga to„g„ri keladi. Bunday hollarda ikkinchi tartibli (yoki yuqori tartibli) polinom ko„rinishdagi statistik modellarni tuish uchun regression anali usuli ko„llaniladi:

𝑁

i
𝑦̂ = 𝑏₀ + ∑ 𝑏_i𝑥_i + ∑ 𝑏_ij𝑥_i𝑥_j + ∑ 𝑏_ij 𝑥² + ⋯ +, …

i ≈ j

i=1

Ushbu 𝑦̂ = 𝑏₀ + 𝑏₁𝑥 + 𝑏₂𝑥² tenglama berilgan, 𝑏₀, 𝑏₁, 𝑏₂ lar aniqlanishi kerak.
Regressiya koeffitsiyentlari qisqa kvadratlar usulida aniqlanadi:
𝐹 = ∑⁽𝑦 − 𝑦̂⁾² → 𝑚i𝑛 ; (7.28)
𝑁
₂ 2
𝐹 = ∑(𝑦_i − 𝑏₀ − 𝑏₁ · 𝑥_i − 𝑏₂ · 𝑥_i ) → 𝑚i𝑛;
i=1

∂𝐹



∂𝑏₀
𝑁
= −2 · ∑(𝑦_i
i=1
𝑁
− 𝑏₀
− 𝑏₁
· 𝑥_i
− 𝑏₂

i

i
· 𝑥²) · 1 = 0;

∂𝐹



∂𝑏₁
= −2 · ∑(𝑦_i
i=1
− 𝑏₀ − 𝑏₁ · 𝑥_i − 𝑏₂ · 𝑥²) · 𝑥_i = 0;

∂𝐹



∂𝑏₂
𝑁
= −2 · ∑(𝑦_i
i=1
𝑁
− 𝑏₀ − 𝑏₁ · 𝑥_i − 𝑏₂ · 𝑥²) · 𝑥² = 0;

i i
𝑁 𝑁

i
ﻟ𝑏₀ · 𝑁 + 𝑏₁ · ∑ 𝑥_i + 𝑏₂ · ∑ 𝑥² = ∑ 𝑦_i;

_I 𝑁
i=1
𝑁
i=1
𝑁
i=1
𝑁

𝑏₀ · ∑ 𝑥_i + 𝑏₁ · ∑ 𝑥² + 𝑏₂ · ∑ 𝑥³ = ∑⁽𝑥_i · 𝑦_i⁾;

❪
i−1
𝑁
i
i=1
𝑁
i
i=1
𝑁
i=1
𝑁

^I𝑏₀ · ∑ 𝑥² + 𝑏₁ · ∑ 𝑥³ + 𝑏₂ · ∑ 𝑥⁴ = ∑(𝑥² · 𝑦_i).

i
^𝗅 i−1
i
i=1
i
i=1
i
i=1

Belgilashlar kiritamiz:
𝑁 𝑁 𝑁 𝑁
𝑆₁ = ∑ 𝑥_i ; 𝑆₂ = ∑ 𝑥²; 𝑆₃ = ∑ 𝑥³ ; 𝑆₄ = ∑ 𝑥⁴ ;

i=1
𝑁

i
i=1
𝑁
i
i=1
𝑁
i
i=1

i
𝑆₅ = ∑ 𝑦_i ; 𝑆₆ = ∑⁽𝑥_i · 𝑦_i⁾; 𝑆₇ = ∑(𝑥² · 𝑦_i) ;

i=1
i=1
i=1

Belgilashlar hisobga olingandan keyin tenglamalar sistemasi
quyidagi ko„rinishga keladi:
𝑏₀ · 𝑁 + 𝑏₁ · 𝑆₁ + 𝑏₂ · 𝑆₂ = 𝑆₅
{^{𝑏0 · 𝑆1 + 𝑏1 · 𝑆2 + 𝑏2 · 𝑆3 = 𝑆6}
𝑏₀ · 𝑆₂ + 𝑏₁ · 𝑆₃ + 𝑏₂ · 𝑆₄ = 𝑆₇
Noma‟lum 𝑏₀, 𝑏₁, 𝑏₂ koeffitsiyentlar quyidagi ifodalar bo„yicha topiladi:
𝑆₅ 𝑆₁ 𝑆₂
𝑆₆ 𝑆₂ 𝑆₃

𝑏₀ =
^|𝑆₇ 𝑆₃ 𝑆₄^|

1 2
𝑁 𝑆 𝑆 ⁼
| |
𝑆₅𝑆₂𝑆₄ + 𝑆₆𝑆₃𝑆₂ + 𝑆₇𝑆₁𝑆₃ − 𝑆₇𝑆₂𝑆₂ − 𝑆₆𝑆₁𝑆₄ − 𝑆₅𝑆₃𝑆₃



𝑁𝑆₂𝑆₄ + 𝑆₁𝑆₃𝑆₂ + 𝑆₂𝑆₁𝑆₃ − 𝑆₂𝑆₂𝑆₂ − 𝑆₁𝑆₁𝑆₄ − 𝑁𝑆₃𝑆₃

𝑆	𝑆	𝑆3
𝑆2	𝑆3	𝑆4
𝑁	𝑆5	𝑆2
𝑆1 |	𝑆6 𝑆7	𝑆3| 𝑆4

1 2

𝑏_1
= 𝑆_2
|𝑁 𝑆₁ 𝑆_2|
𝑆₁ 𝑆₂ 𝑆₃
𝑆₂ 𝑆₃ 𝑆_4
= 𝑁𝑆₂𝑆₄ + 𝑆₁𝑆₇𝑆₂ + 𝑆₂𝑆₅𝑆₃ − 𝑆₂𝑆₆𝑆₂ − 𝑆₁𝑆₅𝑆₄ − 𝑁𝑆₇𝑆₃
𝑁𝑆₂𝑆₄ + 𝑆₁𝑆₃𝑆₂ + 𝑆₂𝑆₁𝑆₃ − 𝑆₂𝑆₂𝑆₂ − 𝑆₁𝑆₁𝑆₄ − 𝑁𝑆₃𝑆₃

𝑏₂
𝑁 𝑆₁ 𝑆_5
|𝑆₁ 𝑆₂ 𝑆_6|
= 𝑆₂ 𝑆₃ 𝑆_7
|𝑁 𝑆₁ 𝑆_2|
𝑆₁ 𝑆₂ 𝑆₃
𝑆₂ 𝑆₃ 𝑆_4
= 𝑁𝑆₂𝑆₇ + 𝑆₁𝑆₃𝑆₅ + 𝑆₂𝑆₁𝑆₆ − 𝑆₂𝑆₂𝑆₅ − 𝑆₁𝑆₁𝑆₇ − 𝑁𝑆₃𝑆₆
𝑁𝑆₂𝑆₄ + 𝑆₁𝑆₃𝑆₂ + 𝑆₂𝑆₁𝑆₃ − 𝑆₂𝑆₂𝑆₂ − 𝑆₁𝑆₁𝑆₄ − 𝑁𝑆₃𝑆₃

Tenglamalar sistemasini yechib, 𝑏₀, 𝑏₁, 𝑏₂ koeffitsiyentlar
hisoblanadi.
Shunga o„xshash istalgan tartibdagi parabolaning koeffitsiyentlari topiladi. Tenglamani tekshirish xuddi chiiqli regressiyaga o„xshash statistik me‟zonlar bo„yicha amalga oshiriladi.
Regressiya tenglamasining adekvatligini tajribaga polinom darajasini oshirish orqali erishish mumkin. Lekin bunda barcha koeffitsiyentlar qaytadan hisoblanishi lozim (chunki koeffitsiyentlar o„rtasida korrelyatsiya mavjud).
Shunday qilib, tajribaviy ma‟lumotlar to„plashning passiv usullari ma‟lum afzalliklarga ega bo„lib, bunda ma‟lumotlar b‟ekt normal ishlaganida axborot to„plashdan iborat. Ushbu afzallik kimyoviy texnologiya ob‟ektlarini o„rganish uchun regression tahlilni keng joriy etishga yordam berdi. Biroq, passiv eksperiment asosida olingan modellar ko„p hollarda samarasiz bo„lib chiqadi.
Bunga sabab usulning o„zi emas, balki regression tahlilning asosiy shartlari bajarilmaganligi: omillarning katta xatoliklar bilan o„lchanganligi. Passiv tajribada, odatda, x ni o„lchashdagi xato mutanosib yoki y ni o„lchashdagi xatodan ham katta. Ba‟zan kirish parametrlarini o„lchash xatosi hatto omillarning o„zgarish oralig„idan ham oshadi.
Bundan tashqari, omillar (x_i) yoki koeffitsiyentlar b_i bir-biri bilan korrelyatsion aloqaga ega. Bu statistik tahlil va natijalarni izohlashni murakkablashtiradi.

Nazorat savollari

1. 
   Qanday hollarda statistik modellarni tuzishga murojaat qilinadi ?
   
2. 
   Statistik modellarni tuish uchun asos nima ?
   
3. 
   Statistik modellarning umumiy ko„rinishi qanday ?
   

4. 
   Statistik modellarni tuish uchun ishlatiladigan eksperimentlarning ikki turini keltiring.
   
5. 
   Passiv va faol eksperiment o„rtasidagi farq nima ?
   
6. 
   Korrelyatsion tahlil nima uchun o„tkailadi ?
   
7. 
   Korrelyatsion tahlilning asosiy harakteristikasi nimadan iborat ?
   
8. 
   Regression tahlilning mohiyati nimadan iborat ?
   
9. 
   Regressiya turlarini sanang, misollar keltiring.
   
10. 
    Regressiya tenglamasi koyeffitsiyentlarini baholash uchun ishlatiladigan usulning nomini ayting.
    
11. 
    Statistik (regression) tahlilning ketma-ketligi qanday ?
    

3. Faol tajribaga asoslangan statistik modellar

Passiv tajriba natijalarini qayta ishlash korrelyatsiya va regression tahlil usullari bilan amalga oshiriladi va bunda empirik model turini tanlash juda qiyin vazifadir. Chunki regressiya tenglamasining turi tajriba ma‟lumotlarning namunasidan olingan empirik regressiya chizig„ining grafigidagi o„zgaruvchilarning o„zgarishi bilan aniqlanishi kerak.

Passiv tajribaga asoslangan modellarning kamchiliklaridan xalos bo„lishga intilish faol tajribaning matematik nazariyasiga olib keldi.
Faol tajriba oldindan tuzilgan rejaga muvofiq o„tkailadi va matematik modelni tuzish uchun optimal algoritm bo„yicha qayta ishlanadi. Faol tajriba nazariyasining asosiy usullaridan biri tajribani statistik rejalashtirishdir.

1. Birinchi tartibli rejalar

   1.