Samarqand viloyati

Kvadrat tenglama deb ko'rinishdagi tenglamaga aytiladi, bunda a, b, c - berilgan sonlar, ≠ 0, esa noma'lum.

Kvadrat tenglamaning , , koeffitsiyentlari odatda bunday ataladi: -birinchi yoki bosh koeffitsiyent, -ikkinchi koeffitsiyent, -ozod had. Masalan, tenglamada bosh koeffitsiyent 3, ikkinchi koeffitsiyent -1, ozod had 2.

Matematika, fizika va texnikaning ko'pgina masalalarini yechish kvadrat tenglamani yechishga keltiriladi.

Kvadrat tenglamaga yana misollar keltiramiz:

, , , .

Ko'pgina masalalarni yechishda algebraik shakl almashtirishlar yordamida kvadrat tenglamaga keltiriladigan tenglamalar hosil bo'ladi. Masalan, tenglama uning barcha hadlarini chap qismiga olib o'tgandan va o'xshash hadlarini ixchamlagandan keyin ushbu

kvadrat tenglamaga keladi.

2- masala. Tenglamani yeching: .

64 ni chap qismga olib o'tamiz va kvadrat tenglamani hosil qilamiz: .

Chap qismni ko'paytuvchilarga ajratamiz:

Demak, tenglama ikkita ildizga ega: ,

englamaning birinchi ildizi 64 sonining arifmetik ildizi, ikkinchisi esa unga qarama-qarshi son ekanini ta'kidlaymiz: ,

Odatda, bu ikki formula birlashtirib yoziladi: - masalaga javobni kabi yozish mumkin. tenglama har qanday kvadrat tenglama keltirilishi mumkin bo'lgan tenglamaning xususiy holidir.

Teorema. tenglama, bunda d>0, ikkita ildizga ega: ,

d ni tenglamaning chap qismiga olib o'tamiz: . d >0 bo'lgani uchun arifmetik kvadrat ildizning ta'rifiga ko'ra . Shuning uchun tenglamani bunday yozish mumkin: Bu tenglamaning chap qismini ko'paytuvchilarga ajratib, quyidagini hosil qilamiz: bundan, ,

Masalan, tenglama ildizlarga ega; tenglama ildizlarga ega; tenglama ildizlarga ega.

Agar tenglamaning o'ng qismi nolga teng bo'lsa, u holda tenglama bitta ildizga ega: . tenglamani ko'rinishda yozish mumkin bo'lgani uchun ba'zan tenglama ikkita o'zaro teng ildizga ega deyiladi: .

Agar d <0 bo'lsa, u holda tenglama haqiqiy ildizlarga ega bo'lmaydi, chunki haqiqiy sonning kvadrati manfiy son bo'lishi mumkin emas. Masalan, tenglama haqiqiy ildizlarga ega emas.

Misollar: Tenglamaning ildizlarini toping:

1)

2)

3)

Agar kvadrat tenglamada yoki koeffitsiyentlardan aqalli bittasi nolga teng bo'lsa, u holda bu tenglama chala kvadrat tenglama deyiladi.

Demak, chala kvadrat tenglama quyidagi tenglamalardan biri ko'rinishida bo'ladi:

,




(1), (2), (3) tenglamalarda koeffitsiyent nolga teng emasligini eslatib o'tamiz.

Chala kvadrat tenglamalar qanday yechilishini ko'rsatamiz.

I-hol: Agar =0 bo’lsa, kvadrat tenglama ko’rinishda bo’ladi. Bu tenglamani yechilish usulini ko’rsatamiz:

1. 
   Agar >0 bo’lsa, yechimlar bo’ladi.
   
2. 
   Agar <0 bo’lsa, bu ko’rinishdagi tenglamaning haqiqiy ildizlari mavjud emas.
   

II-hol. Agar =0 bo’lsa, kvadrat tenglama ko’rinishda bo’ladi. Bu tenglamani yechish uchun ko’paytuvchini qavsdan tashqariga chiqaramiz:







Demak, kvadrat tenglama ildizlari bo’lar ekan.

III-hol. Agar bo’lsa, kvadrat tenglama ko’rinishda bo’ladi. Bu tenglama ikkita o’zaro teng bo’lgan () ildizga ega.

3- masala. Tenglamani yeching: .

Bu tenglamaning ikkala qismini 5 ga bo'lib, ni hosil qilamiz, bundan x =0.

4- masala. Tenglamani yeching: .

Tenglamaning ikkala qismini 3 ga bo'lamiz: . Bu tenglamani quyidagicha yozish mumkin: , bundan

5- masala. Tenglamani yeching:

Tenglamani bunday yozish mumkin: Bu tenglama haqiqiy ildizlarga ega emas, chunki ning istalgan haqiqiy qiymatlarida bo'ladi.

6- masala. Tenglamani yeching: Tenglamaning chap qismini ko'paytuvchilarga ajratib, ekanini hosil qilamiz, bundan:

Javob:

Kvadrat tenglamalarni yechish uchun to'la kvadratni ajratish usuli qo'llaniladi. Bu usulni misollarda ko'raylik.

7- masala. Kvadrat tenglamani yeching:

Bu tenglamaning shaklini quyidagicha almashtiramiz:

Demak, yoki , bundan

Biz, tenglamani yechar ekanmiz, uning shaklini shunday almashtirdikki, chap qismida ikkihadning kvadrati hosil bo'ldi va o'ng qismida noma'lum qatnashmadi.

8- masala. Tenglamani yeching:

Bu tenglamani shunday almashtiramizki, uning chap qismi ikkihadning kvadratiga aylansin:

Bu shakl almashtirishlarni izohlaymiz. ifodada birinchi qo'shiluvchi x sonning kvadrati, ikkinchisi esa x va 3 ning ikkilangan ko'paytmasi. Shuning uchun tenglamaning chap qismida ikkihadning kvadratini hosil qilish uchun tenglamaning ikkala qismiga ni qo'shish kerak.

tenglamani yechib, yoki ni hosil qilamiz, bundan .

Endi umumiy ko'rinishdagi kvadrat tenglamani qaraymiz: , bunda a≠0.

Tenglamaning ikkala qismini ga bo'lib, kvadrat tenglamani hosil qilamiz.

Bu tenglamaning shaklini shunday almashtiramizki, uning chap qismida ikkihadning to'la kvadrati hosil bo'lsin:

.



(4)

Agar bo'lsa, u holda

Bundan



yoki (5)

(5) formula umumiy ko'rinishdagi kvadrat tenglama ildizlari formulasi deyiladi.

ifoda kvadrat tenglamaning diskriminanti deyiladi.

(5) formulada ko’ramizki, kvadrat tenglama:

1) D>0 bo’lsa, va — ikkita turli ildizga ega,

2) D=0 bo’lsa, == — bitta ildizga ega;

3) D<0 bo’lsa, haqiqiy ildizlarga ega emas ( qo’shma kompleks ildizlarga ega).

Kvadrat tenglama yechimlarini tenglama koeffitsiyentlariga nisbatan tekshirish jadvalini ko’rsatamiz: