Самостоятельная работа №2 Решение линейных неоднородных дифференциальных уравнений второго порядка методом Лагранжа вариации произвольных постоянных

Lagranj usuli va uni iqtisodiy mazmundagi muammolarni hal qilishda qo'llash
Ko'pgina hodisalar, shu jumladan iqtisodiy hodisalar ko'plab omillarga bog'liq. Bunday bog'liqliklarni o'rganish matematik apparatni takomillashtirishni talab qildi, ya'ni bir nechta o'zgaruvchan funktsiya tushunchasini kiritishni talab qildi, bu orqali biz bir-biridan mustaqil x va y o'zgaruvchilar bilan tenglamani nazarda tutamiz.
Texnik taraqqiyotning rivojlanishi bilan iqtisodiyot ishlab chiqarish resurslarini qanday qilib eng foydali taqsimlash masalasi bilan duch keldi. Foydani ko'paytirish yoki zararni minimallashtirish har doim ham faqat hisob-kitobga kamaytirilishi mumkin emas, chunki ko'pincha etishmayotgan ma'lumotlarni topish kerak bo'ladi. Ushbu muammoning echimini qidirib, 18-asrning eng buyuk frantsuz matematikasi Jozef Lui Lagranj resurslarning optimal taqsimlanishini hisoblash usulini ishlab chiqdi, keyinchalik Lagranj ko'paytuvchilari usuli deb nomlandi.


Ushbu usul juda sodda va optimallashtirish muammolarini hal qilish uchun qulaydir. Uning kamchiliklari qo'shimcha o'zgaruvchilarni kiritishdir, bu esa qo'shimcha tenglamalar yordamida o'z navbatida yo'q qilinishi kerak.


Shuni ta'kidlash kerakki, agar muammoni echishda Lagranj usuli ishlatilsa, u holda ekstremum butun ta'rif domenida emas, balki ma'lum bir shartni qondiradigan to'plamda izlanadi.


z = f (x, y) funktsiya, x va y argumentlari cheklash tenglamasi deb nomlangan
g (x, y) = C shartni qondiradigan argumentlar bo'lsin, keyin (x₀, y₀) nuqta shartli maksimal deyiladi (minimal) nuqta, agar ushbu nuqtaning mahallasi mavjud bo'lsa, unda g (x, y) = C shartini qondiradigan ushbu mahalladagi barcha (x, y) nuqtalar uchun tengsizlik


f (x₀, y₀) ≥ f (x, y) f (x₀, y₀) ≤ f (x, y)


Ikki o'zgaruvchili funksiyaning shartli ekstremumini topishning eng oddiy usuli bu muammoni bitta o'zgaruvchiga teng funktsiya ekstremumini topishga kamaytirishdir. Shunday qilib, y ni x: y = ϕ (x) bilan ifodalagan holda va hosil bo'lgan ifodani ikkita o'zgaruvchining funktsiyasiga almashtirib, biz z = f (x, y) = f (x, ϕ (x)) ni olamiz, ya'ni , bitta o'zgaruvchining funktsiyasi. Ammo bu usul faqat g (x, y) = C cheklash tenglamasi chiziqli bo'lganda va o'zgaruvchilardan biriga nisbatan osonlikcha echilishi mumkin bo'lganda mos keladi. Biroq, yanada murakkab holatlarda, buni amalga oshirish mumkin emas.


Umumiy holatda shartli ekstremumni topish uchun Lagranj multiplikatori usuli qo'llaniladi.


Lagrange funktsiyasi uchta o'zgaruvchidan iborat funktsiya


L (x, y, λ) = f (x, y) + λ [g (x, y) – C] bu erda λ Lagranj ko'paytuvchilari.


Shunday qilib, g (x, y) = C sharti bilan z = f (x, y) funksiyaning shartli ekstremumini topish uchun tizimga yechim topish talab qilinadi



Keling, masalaning echimini Lagranj ko'paytuvchilari usuli bilan ko'rib chiqamiz.


Ikki korxonani rivojlantirish uchun 2 million ajratildi. Agar birinchi korxonaga x₁ million berilsa, u holda ushbu korxonadan olingan foyda 2√x₁ millionga teng bo'ladi, agar x₂ million ikkinchisiga berilsa, u holda undan olingan foyda 3√x₂ millionga teng bo'ladi. Jamg'arma foydasi maksimal darajaga ko'tarilishi uchun mablag'larni korxonalar o'rtasida qanday taqsimlash kerakligini aniqlang. Keling, ushbu muammoni Lagranj ko'paytuvchilari usuli bilan hal qilaylik.


Vazifa x₁ + x₂ = 2 cheklovi ostida f = 2√x₁ +3√x₂ funktsiyasining global maksimal nuqtasini topishdir.


Mumkin bo'lgan maksimal nuqtani Lagranj ko'paytuvchilari usuli bilan topish.


Lagrange funktsiyasi:


L (x₁, x₂, λ) = 2√x₁ +3√x₂ + λ (x₁ + x₂ -2)


Mumkin bo'lgan ekstremaning nuqtalarini topish uchun biz tizimni tuzamiz:


L'_x1 = 1/√x₁ + λ = 0


L'_x2 = 3/2√x₂+ λ = 0


L'_λ = x₁ + x₂ – 2 = 0


Keling, uning echimini topaylik. (1) va (2) tenglamalardan olamiz



Topilgan x₂ = 9/4 x₁ nisbatni (3) tenglamaga almashtiring, biz olamiz


, keyin x₂ = 18/13. Λ ni toping:





Shunday qilib, tizim bitta echimga ega

∆ (L) determinantidan foydalanib mahalliy shartli ekstremum uchun topilgan nuqtani tekshirib chiqamiz.

Barchasini formulaga almashtirib, biz olamiz

∆ <0 bo'lgani uchun, u holda P_o [8/13 ; 8/13] mahalliy shartli maksimalning nuqtasidir.

P_o nuqtasida global maksimal darajaga erishilganligini ko'rsatish uchun biz bitta funktsiyani shartsiz maksimalini topish masalasiga murojaat qilamiz.


O'zgaruvchan. X₁ + x₂ = 2 masalasidan foydalanib, shartli funktsiyani quyidagicha yozamiz:
f (x₁, x₂) = 2√x₁ +3√x₂ = 2√x₁ +3√2 – x₁ = y (x₁)


Funksiyaning maksimal qiymatiga erishiladigan nuqtani topish talab qilinadi.


Qolgan o'zgaruvchining mumkin bo'lgan o'zgarish maydoni bu segment [0; 2].


Yopiq segmentdagi uzluksiz funktsiya segmentning kritik nuqtalarida yoki uchlarida maksimal qiymatga ega bo'lishi shart


Segment:



Y ′ (x₁) = 0 shartidan statsionar nuqtani topamiz.
Hosilaning segment ichida mavjud bo'lmagan nuqtalari yo'q. Maqsad funktsiyasining statsionar nuqtada va kesmaning uchlarida qiymatini toping.





Eng katta qiymatga x₁ = 8/13 nuqtada erishilganligini ko'ramiz


Shunday qilib, global maksimal x₁ = 8/13 million , x₂ = 8/13 millionga etadi.



Lagranj ko'paytuvchilari usuli jami foyda maksimal darajada oshiriladigan ikkita korxona o'rtasida mablag'larni eng foydali taqsimotini topishga imkon berdi.


Makroiqtisodiyotda xarajatlar milliardlab dollarga yetganda, ushbu usul yordamida hisoblab chiqarish ishlab chiqarishni yanada rivojlantirish uchun qulay zamin yaratib, katta miqyosda foyda olishga imkon beradi.