Самостоятельная работа по высшей математики на тему: Ряды Тейлора Проверил(а)

Путь короткий: биномиальный ряд сходится при  (см. таблицу).
В данном случае  :
.
Делим все части на 3 и извлекаем из всех частей кубический корень:

 – интервал сходимости ряда.
Исследуем сходимость нашего ряда  на концах найдённого интервала:
при  получаем ряд:  ,
и на правом конце: 
Оба числовых ряда расходятся, так как не выполнен необходимый признак сходимости рядов.
Таким образом, область сходимости ряда: 
Путь длинный (но более надежный и универсальный) состоит в исследовании полученного ряда  с помощью признака Даламбера по стандартной схеме, рассмотренной на уроке Степенные ряды. Область сходимости ряда.
Пример 7: Решение: преобразуем функцию:

Используем разложение:

В данном случае 

Таким образом:

Или в свёрнутом виде: 
Найдем область сходимости полученного степенного ряда. Согласно таблице, использованное разложение сходится при  . В данном случае  , поэтому:

 – интервал сходимости исследуемого степенного ряда.
Исследуем сходимость ряда на концах найденного интервала:
при  – расходится;.
при  – сходится.
Таким образом, область сходимости полученного степенного ряда: 
Пример 10: Решение, способ первый: Используем разложение функции в ряд Тейлора по степеням  :

В данном случае: 







…


…
Таким образом:
Область сходимости полученного степенного ряда уже надоела =)