Самостоятельная работа по высшей математики на тему: Ряды Тейлора Проверил(а)

Возникает вопрос: а зачем тогда возиться с производными? И ответ здесь такой: замена далеко не всегда приводит к желаемому результату, так, например, она совершенно бесполезна в Примере 8, и ещё много для каких функций. Поэтому главным и основополагающим методом следует считать прямое построение ряда через производные.
Заключительный пример для самостоятельного решения:
Пример 10
Разложить функцию  в ряд Тейлора по степеням  . Найти область сходимости полученного ряда.
В образце приведены оба способа решения.
Как ваш тонус? Я так и знал, что на высоте! – поэтому самое время потренироваться в нахождении сумм степенных рядов по известным разложениям. Кроме того, на следующем уроке много интересной и... неожиданной информации. Только не злоупотребляйте =)
Желаю успехов!
Решения и ответы:
Пример 2: Решение: используем разложение:  .
В данном случае 


Область сходимости ряда:  .
! Примечание: здесь может сложиться впечатление, что из области сходимости ряда следует исключить точку  , которая не входит в область определения функции, однако тут речь идёт об области сходимости ряда. А полученный ряд преспокойно сходится в точке  – но не к исходной функции, а к изолированному значению:  . Интересно отметить, что здесь функция терпит устранимый разрыв:   и сумма степенного ряда непрерывна.
Пример 4: Решение: используем разложение: .
В данном случае 

Конструируем функцию дальше:

Окончательно:

Ряд сходится при 
Примечание: в точке  ряд сходится не к исходной функции, а к нулю: 
Пример 5: Решение: используем частный случай биномиального разложения:

В данном случае 
Таким образом:

Само по себе разложение не слишком сложное, важно правильно найти область полученного сходимости ряда. Есть длинный путь и есть короткий.