Scienceand e ducation

"ScienceandEducation"ScientificJournal

August2021/Volume2Issue8

Mavzu: Chiziqli algebraik tenglamalar sistemasini aniq yechish uchun sarflanadigan amallar sonini baholash

Reja

1) Tenglamalar sistemasining yechilish usullari

2) Ularnibaholash usuli

3) foydalanilganadabiyotlar

Chiziqli algebraik tenglamalar sistemasi va ularni yechishusullari

1. 
   Chiziqlialgebraiktenglamalarsistemasivauningyechimi.
   

Ma’lumki, bir necha tenglamalar birgalikda qaralsa, ularga tenglamalarsistemasideyiladi.
Quyidagi
_a₁₁x₁a₁₂x₂...a_1nx_nb₁,
^axax...a xb,
^211 22 2 2n n 2


^ ... ... ... ... ... ...

_^a_m1x₁a_m2x₂...a_mnx_nb_m
sistemagaⁿnoma’lumli^mtachiziqlialgebraiktenglamalarsistemasi(yoki

soddalikuchunchiziqlitenglamalarsistemasi)deyiladi.Buyerda
a₁₁,a₁₂, ,a_mn

sonlar(1)sistemaningkoeffitsiyentlari,sonlaresaozod hadlar deyiladi.
x₁,x₂,_…,x_n
larnoma’lumlar,
b₁,b₂,...,b_m

Tenglamalarsistemasikoeffisiyentlaridantuzilgan
_a₁₁ a₁₂ ... a_1n
^a a ... a ^

A^
21 22 2n_

^... ... ... ...^
a a ... a ^
m1 m2 mn
matritsatenglamalarsistemasiningasosiymatritsasideyiladi.Noma’lumlar

vektorini
X(x,x,...,x)^T
ustunvektor,ozodhadlarni
B(b,b,...,b)^T
ustun

1 2

n

1 2

m
vektorshaklidaifodalaymiz.Uholdatenglamalarsistemasiquyidagimatritsashaklidayozilishimumkin:
AXB.

1. 
   ta’rif.Agar
   

₁,₂,
sonlar
x₁,x₂,
larningoʻrnigaqoʻyilganda(1)

sistemadagitenglamalarnitoʻgʻritenglikkaaylantirsa,busonlarga(1)sistemaning

yechimlaritizimi,debaytiladiva
^X^1,2,
kabibelgilanadi.

2. 
   ta’rif.Chiziqlitenglamalarsistemasikamidabittayechimgaegaboʻlsa,uholdabundaysistemabirgalikdadeyiladi.
   

_xy2,

ega.


1-misol.


2xy7
^ sistemabirgalikdachunkisistema
x3,y1

yechimga

3-ta’rif.Bittahamyechimgaegaboʻlmaganchiziqlitenglamalarsistemasibirgalikdaboʻlmagansistemadeyiladi.
_xyz 1,


2-misol.
_3x3y3z5
sistema yechimga ega boʻlmaganligi sababli

birgalikdaemas.
4-ta’rif.Birgalikdaboʻlgansistemayagonayechimgaegaboʻlsa,aniqsistemavacheksizkoʻpyechimgaegaboʻlsa aniqmassistema deyiladi.
_xy1,


^2x2y2,
^3x3y3
3-misol.^ sistemabirgalikda, ammoaniqmas,chunkibu sistema

x_,
y1
koʻrinishdagicheksizkoʻpyechimgaega,bunda^-ixtiyoriy

haqiqiyson.

5-ta’rif.Birgalikdaboʻlgantenglamalarsistemasilaribirxilyechimlartizimigaegaboʻlsa,bundaysistemalarekvivalentsistemalardeyiladi.

4. 
   misol.Quyidagiikkitatenglamalarsistemasiniqaraymiz
   

_2x3y5

x2y3

^ (a)tenglamalarsistemasiningyechimi
_3x2y1

3xy4

^ (b)tenglamalarsistemasiningyechimi
(x,y)(1,1)_.


(x,y)(1,1)_.

(a)va(b)tenglamalarsistemasiekvivalenttenglamalarsistemasideyiladi.
Izoh:Berilgantenglamalarsistemasiningbirortatenglamasininoldanfarqlisongakoʻpaytirib,boshqatenglamasigahadma-hadqoʻshishbilanhosilboʻlgansistemaberilgansistemaga ekvivalentboʻladi.

4. 
   misol.
   

_x3y 5

3xy5

^ (a) tenglamalar sistemadagi 1-tenglamani (-3) ga koʻpaytirib 2-tenglamagaqoʻshibquyidaginihosilqilamiz:
_x3y5

10y10

^ (b)natijada(a)va(b)tenglamalarsistemasiekvivalent.
Chiziqli tenglamalar sistemasining yechimga ega yoki ega emasligini quyidagiteoremayordamida aniqlashmumkin.

2. 
   Chiziqli algebraic tenglamalar sistemasining yechimi mavjudligining zaruriyva yetarlisharti(Kroneker-Kapelli teoremasi).
   

1. 
   teorema(Kroneker-Kapelliteoremasi).Chiziqlitenglamalarsistemasibirgalikdabo‘lishiuchununing^Aasosiymatritsasivakengaytirilgan^{( A | B)}matritsalarining ranglariteng bo‘lishizarurva yetarli.
   

Isbot.Zaruriyligi.Farazqilamiz(1)sistemabirgalikdabo‘lsin.Uholdauning

biroryechimimavjudva
x₁₁,x₂₂,...,x_n_n
daniboratbo‘lsin.

Bu yechimni (1) chiziqli tenglamalar sistemasidagi noma’lumlar o‘rnigaqo‘ysak:

egabo‘lamiz.

a_i1₁a_i2₂L
a_in_nb_i, i1,2,...,m₍₂₎

Butengliklarmajmuasiquyidagitenglikkaekvivalent:
^a₁₁ ^a₁₂ ^a_1n ^b₁
_a  _a  _a  _b

_²¹_
^22L^
2n_
^2, i1,2,...,m

^1M^{ 2}M^
nM^{ }M^

_a  _a  _a  _b

m1 m2 
mn m
(3)

Bundan (1) sistemaning kengaytirilgan matritsasi oxirgi ustuni asosiy matritsaustunlarichiziqlikombinatsiyasidaniboratekanligikelibchiqadi.Ma’lumkimatritsaningrangi ustunlarningchiziqli kombinatsiyasidan iborat bo‘lgan ustunnitashlab yuborilganda o‘zgarmaydi. Kengaytirilgan matritsadan ozod hadlar ustuniniolibtashlasaksistemaningasosiymatritsasigaegabo‘lamiz.Demak,asosiyvakengaytirilganmatritsalarningranglariteng.Shuniisbotlashtalabetilganedi.
Yetarliligi.Aytaylikasosiyvakengaytirilganmatritsalarningranglariteng,
r_A_r_AB_
^A(asosiy)matritsaning^rtabazisustunlariniajratamiz,bular^{A B}(kengaytirilgan) matritsaning ham bazis ustunlari bo‘ladi. Faraz qilamiz birinchi ^rtaustunbazisbo‘lsin.
Bazisminorhaqidagiteoremagaasosan^Amatritsaningoxirgiustunibazisustunlarningchiziqlikombinatsiyasisifatidatasvirlanishimumkin.Buesa:
^a₁₁ ^a₁₂ ^a_1r ^b₁
_a  _a  _a  _b

_²¹_
^22L^
2r_2_

^1M^{ 2}M^
rM^{ }M^

_a  _a  _a  _b

m1 m2 
mr m

munosabatniqanoatlantiruvchi
₁,₂,...,_r
larmavjudliginibildiradi.Oxirgi

munosabatquyidagi^mtatenglamalargaekvivalent:

a_i1₁a_i2₂L
Agar(1)tenglamalarsistemasiga

• 
  a_ir_r
  

b_i, i1,2,...,m

x₁₁,x₂₂,...,x_r
_r,x_r10,...,x_n 0_,(4)

qo‘ysak,uholdatenglamalarsistemasi(2)gaaylanadi.Bundannoma’lumlarning (4) qiymati (1) sistemadagi barcha tenglamalarni qanoatlantiradi,ya’nisistemayechimga egabo‘ladi.Teorema isbotlandi.
Kroneker-Kapelliteoremasigako‘rabirgalikdabo‘lgantenglamalarsistemasiningasosiy^Amatritsasirangibilanuningkengaytirilgan^AB

matritsasiningranglariteng.
rr_A_r_AB_
qiymatniberilgansistemaningrangi

debataymiz.^Amatritsaningbirorbazisminorinibelgilabolamiz.Bazissatrlargamosbo‘lgantenglamalarniberilgansistemaningbazistenglamalaridebataymiz.Bazistenglamalarbazissistemanitashkiletadi.Bazisustunlardaqatnashgannoma’lumlarnibaziso‘zgaruvchilar,qolganlariniozodo‘zgaruvchilar,debataymiz.
Oldingi mavzularda berilgan bazis minor haqidagi teoremadan quyidagi tasdiqo‘rinliligi kelibchiqadi.

2. 
   teorema.Chiziqlitenglamalarsistemasio‘ziningbazistenglamalarsistemasigaekvivalent.
   

Soddalikuchun(1)sistemadabirinchi^rtatenglamabazistenglamabo‘lsin.
Yuqoridakeltirilganteoremagaasosan:

a_i1x₁a_i2x₂L
a_inx_nb_i, i1,2,...,r
(5)

bazistenglamalarsistemasiberilgan(1)sistemagaekvivalent.Shuninguchun

1. 
   tenglamalar sistemasi o‘rniga uning rangiga teng bo‘lgan (5) sistemani tadqiqetish yetarli.
   

O‘z-o‘zidanko‘rinadikimatritsaningrangiustunlarsonidankattaemas,ya’ni^{r n} .Boshqachaaytgandabirgalikdagisistemaningranginoma’lumlarsonidanoshmaydi.
Buyerdaikkiholbo‘lishimumkin:

1. 
   rn_;
   

^rn,ya’nibazissistemadatenglamalarsoninoma’lumlarsonigatengbo‘lsin.
Bazissistemaniquyidagichaifodalaymiz^AbXBb.Bunda^Abbazisminorgamos

matritsa.^det(Ab)0
bo‘lganligisababli,
^A1mavjudva

b

b b b b b
XEXA^1AXA^1(AX)A^1B
tenglikyagonayechimniifodalaydi.

2. 
   rn
   

bo‘lsin.Tenglamalarda
x₁,x₂,...,x_r
bazisnoma’lumlarqatnashmagan

barchahadlarniuningo‘ngtomonigao‘tkazamiz.Uholda(5)sistema:

a_i1x₁a_i2x₂L
ko‘rinishnioladi.

• 
  a_irx_r
  

^bi^air1^xr1^L

• 
  ^ainxn.(5)
  

Agarerki
x_r,x_r1,...,x_n
noma’lumlargabiror
_r1,...,_n
sonliqiymatlarnibersak,

uholda
x₁,...,x_r
o‘zgaruvchilarganisbatantenglamalarsistemasiniolamizvabu

sistemada noma’lumlar soni asosiy matritsa rangiga teng bo‘lganligi sababli u yagonayechimgaega.Erklinoma’lumlarqiymatiixtiyoriytanlanganligisistemaningumumiyyechimlarisonicheksiz ko‘p.
Izoh:Shundayqilib:

_1).rangArangA
bo‘lsa,tenglamalarsistemasibirgalikdaemas;

ega;
_2).rangArangArn

_3).rangArangArn
bo‘lsa,tenglamalarsistemasiyagonayechimga

bo‘lsa, tenglamalar sistemasi cheksiz ko‘p

yechimgaega.
Fanvatexnikadaningkoʻpsohalaridaboʻlganidek,iqtisodiyotninghamkoʻpmasalalarining matematik modellari chiziqli tenglamalar sistemasi orqali ifodalanadi.6-misol.Korxonauchxildagixomashyoniishlatibuchturdagimahsulotishlab
chiqaradi.Ishlabchiqarishxarakteristikalariquyidagijadvaldaberilgan.

Xomashyo turlari	Mahsulotturlariboʻyichaxomashyosarflari			Xomashyo zahirasi
	A	B	C
1	5	12	7		2000
2	10	6	8		1660
3	9	11	4		2070

Berilganxomashyozahirasitoʻlasarflansa,mahsulotturlariboʻyichaishlabchiqarishhajmini aniqlashningmatematik modelinituzing.
Yechish.Ishlabchiqarilishikerakboʻlganmahsulotlarhajminimosravishda

x₁,x₂,x₃
larbilanbelgilaymiz.BirbirlikAturdagimahsulotga,1-xilxomashyosarfi

5birlikboʻlganligiuchun
5x₁
Aturdagimahsulotishlabchiqarishuchunketgan1-

xil-xomashyoningsarfinibildiradi.XuddishundayBvaCturdagimahsulotlarni

ishlabchiqarishuchunketgan1-xilxomashyosarflarimosravishdaboʻlib,uninguchun quyidagitenglamaoʻrinli boʻladi:
5x₁12x₂7x₃ 2000_.
Yuqoridagigaoʻxshash2-,3-xilxomashyolaruchun
10x₁6x₂8x₃1660,
9x₁11x₂4x₃2070
12x_2,
7x₃

tenglamalar hosil boʻladi. Demak, masala shartlaridan quyidagi uch noma’lumliuchtachiziqlitenglamalarsistemasinihosilqilamiz.Bumasalaningmatematikmodeliquyidagiuchnoma’lumlichiziqlitenglamalarsistemasidaniboratboʻladi:


_5x₁12x₂7x₃2000,
_10x₁6x₂8x₃ 1660,
^9x11x4x2070.
 1 2 3

3. 
   ChiziqlialgebraiktenglamalarsistemasiniyechishningKramerusuli.
   

Determinantlarnichiziqlitenglamalarsistemasiniyechishgatatbiqibo‘lgan
Kramer(determinant)usulibilantanishamiz.Aytaylik,bizgaⁿtanoma’lumliⁿtachiziqlitenglamalarsistemasiberilganbo‘lsin:
_a₁₁x₁a₁₂x₂......a_1nx_nb₁
^a xa x.....a x b
^21 1 22 2 2n n 2

_...............................................

_^a_n1x₁a_n2x₂.....a_nnx_nb_n
(6)

Bu yerda
^{x1,x2,...,xn}noma’lumlar,
^{a11,a12,...,ann }koeffitsientlar,
^{b1,b2,...,bn }ozodsonlar.

n
Teorema1.6.Agar(1.4.1)-tenglamalarsistemasiningasosiydeterminantinoldan farqli bo‘lsa, u holda sistema yagona yechimga ega bo‘ladi va u quyidagiformulalardantopiladi.

0,
x^x ,

x ^x
,...,x
__x

1 2
1 _ 2 _
^{n } (7)

BuKramerformulasidaniborat.Buyerda
0
gaboshdeterminant,

1 2 3
_x ,_x
,_x
,...,_x
largayordamchideterminantlardeyiladi.Soddalikuchunuch

n
noma’lumli,uchtachiziqlitenglamalarsistemasiniqaraymiz:
_a₁₁xa₁₂ ya₁₃zb₁
^axa ya zb
^21 22 23 2
^axa ya zb

31 32 33 3
(8)(1.4.3)

uchnoma’lumliuchtachiziqlitenglamalarsistemasiniyechishdadastlabbosh(asosiy)determinant

^a11
a₂₁
^a31
^a12^a22^a32
^a13^a23^a33


(9)

topiladi.
0
bo‘lsin.Undanso‘ngyordamchi determinantlarhisoblanadi

(bundaboshdeterminantningustunelementlarimosravsihdaozodhadlarbilanalmashtiriladi):

_x
^b1 ^a12^b2 ^a22^b3^a32
^a13a₂₃,
^a33


_y
^a11 ^b1^a21 ^b2^a31^b3
^a13a₂₃,
^a33


_z
^a11^a21^a31
^a12 ^b1^a22 ^b2^a32^b3 Noma’lumlarquyidagiformulalaryordamidahisoblanadi:
x^x, y^y, z<sup>z

  </sup> (11)