Сдвиг и кручение

Пример 1. Проверить на прочность болт, соединяющий тягу управления с качалкой (рис. 2.10), если сила Р=3,5 кН, диаметр болта d=6 мм, допускаемое напряжение для материала болта [t] =160 МПа (срез по двум плоскостям).
Решение. Из условия прочности на срез t_ср = < [t_ср], определяем рабочее напряжение t = , где A= - площадь поперечного сечения двух срезов
t= =62 МПа
Прочность болта достаточная, так как t < [t].


Кручением называется такой вид деформации, при котором в любом по­перечном сечении бруса возникает только крутящий момент. Деформации кручения подвергаются многие детали самолета и двигателя (коленчатый вал поршневого двигателя, вал газораспределения, валики приводов топливных и масляных насосов, вал редуктора и др.). Кручению подвергаются и такие элементы самолета, как крыло, фюзеляж, лонжероны рулей и элеронов, стабилизатор, киль, стойки шасси и др.
Деформации кручения возникают, если к прямому брусу в плоскос­тях, перпендикулярных оси, приложить пары сил. Моменты этих пар будем называть вращающими (при вращении бруса) и скручивающими (если брус защемлен).
Поперечные сечения вала не искривляются, а поворачиваются вокруг оси вала как жесткие диски. При кручении оказывается справедливой гипотеза плоских сечений, суть которой:
- сечения вала плоские и перпендикулярные к оси вала до деформации остаются такими же и после деформации;
- расстояние между ними не меняется;
- радиусы окружностей остаются прямыми линиями.
Рассмотрим кручение круглого цилиндра длиной l (рис. 2.11).


Рис. 2.11 Рис..2.12
Выделим из вала элементарный цилиндр длиной dz. Будем считать выделенную часть бруса защемленной в сечении I. Под действием М_к вал повернется на угол d. Угол, на который поворачивается при кручении любое сечение, называется углом закручивания. Угол закручивания возрастает прямо пропорционально расстоянию сечения от закрепленного конца стержня и достигает наибольших размеров в крайнем сечении на свободном конце.
Образующая АВ займет положение АВ, то есть произойдет сдвиг на угол , тогда BB = dz = d или
Угол, приходящийся на единицу длины стержня, называется относительным углом закручивания , тогда  = . По закону Гука при сдвиге касательное напряжение
. (2.13)
Внутренняя сила возникающая на площадке dА, расположенной на расстоянии r от оси бруса, равна t_r×dА, ее момент относительно оси вала t_r×dА×r. Суммируя элементарные моменты по площади сечения - А, получим полный крутящий момент Т_к, возникающий в сечении вала:
, Т_к = ,
где - полярный момент инерции. Из полученной зависимости выразим относительный угол закручивания
, (2.14)
тогда касательное напряжение при кручении в любой точке вала
. (2.15)
Очевидно в центре вала при ρ=0, τ =0. Максимального значения касательное напряжение достигает на поверхности вала при ρ = d/2. Из эпюры видно (рис. 2.12), что внутренние слои материала при кручении нагружены мало, поэтому более рациональным, чем сплошное, является трубчатое поперечное сечение вала – при этом достигается большая экономия материала.
τ_max = , (2.16)
где W_ = - полярный момент сопротивления сечения.
Найдем абсолютный угол закручивания вала , так как , имеем
, откуда .

Если на длине l крутящий момент, модуль сдвига и диаметр вала постоянны, то после интегрирования получим:

. (2.17)
Произведение GJ_p, стоящее в знаменателе, называется жесткостью сечения при кручении.