Сдвиг и кручение

Изгиб

Изгибом называется такой вид дефор­мации, когда под действием внеш-них сил в поперечных сечениях бруса возникают изгибающие моменты. Брусья, работающие на изгиб, называют балками. На изгиб работают ва­лы, оси и другие детали конструкций.
Различают два основных вида изгиба: чистый и поперечный. Если применить метод сечений в случае чистого изгиба (рис. 2.14а), то отрезанная часть балки уравновешивается только моментом, а в случае поперечного изгиба (рис. 2.14б) – моментом и поперечной силой.
Чистый изгиб. Под действием изгибающих моментов брус изгибается так, что все поперечные сечения остаются плоскими и перпендикулярными искривлённой оси бруса (рис. 2.14в). При этом волокна, находящиеся на выпуклой части бруса, оказываются растянутыми, а на вогнутой - сжатыми. Таким обра­зом, при чистом изгибе действуют только нормальные напряжения.

а б в

Рис. 2.14

По центру тяжести проходит нейтральный слой, не испытывающий ни растяжения, ни сжатия. Растяжение волокон сопровождается их утонением, а сжатие - утолщением. Выясним, как распределяются напряжения по сечению. По закону Гука  = .

а б

Рис. 2.15

Из рис. 2.15 видно, что абсолютное удлинение волокон рассматриваемого слоя

а относительное удлинение

Если точка О - общий центр кривизны деформированных слоев, то
и ,
где - радиус кривизны нейтрального слоя;
d - центральный угол;
у - расстояние от нейтрального до рассматриваемого растянутого слоя.
Следовательно,
и
Таким образом, напряжения в сечении пропорциональны расстоянию у от нейтрального слоя и изменяются по линейному закону. Наибольшее напряжение испытывают волокна периферийного слоя при y = y_max
, (2.20)
где  - напряжение в произвольной точке поперечного сечения при изгибе.
Чтобы выяснить зависимость напряжений от действующих в сечении изгибающих моментов, выделим в сечении А элементарную площадку А (риc. 2.15б), расположенную на расстоянии у от нейтрального слоя. Элементар­ная сила dA создает момент dAy. Cуммируя элементарные моменты в сечении и учитывая (2.20), получим полный момент по всей площади сечения:
M =   y d =
Введем геометрическую характеристику сечения - -осевой момент инерции попереч­ного сечения.
Тогда ; отсюда , из формулы (2.20) , т.е. или
Напряжение будет максимальным, если у = у_max.
(2.21)
Введем еще одну геометрическую характеристику сечения - осевой момент сопротивления , характеризующий степень сопротив­ляемости поперечного сечения изгибу относительно нейтральной оси.
Окончательно получаем
_max = (2.22)