Səthlər və onlarin tənlikləRI

SƏTHLƏR VƏ ONLARIN TƏNLIKLƏRI
Həndəsədə səth də xətt kimi müəyyən xassəni ödəyən nöqtələrin həndəsi yeri kimi başa düşülür. Bu xassələri analitik olaraq ifadə etmək üçün fəzada düzbucaqlı Dekart koordinat sistemi götürülür.
Səthin ixtiyari M nöqtəsinin koordinatlarını x, y və z ilə işarə edərək, səth nöqtələrinin ümumi xassəsini həmin x, y, z kəmiyyətləri vasitəsilə analitik olaraq ifadə etmək mümkün olduqda səthin tənliyi alınır. Beləliklə, x, y və z koordinatları vasitəsilə tənlik qurulur və bu tənliyi ancaq həmin səthin nöqtələrinin koordinatları ödəyir.
Tutaq ki, fəzada (s) səthi verilmişdir. (s) səthinin verilmiş koordinat sistemində tənliyi elə
(1)
tənliyinə deyilir ki, həmin səth üzərində yerləşən bütün nöqtələrin koordinatları bu tənliyi ödəyir, səth üzərində yerləşməyən heç bir nöqtənin koordinatları isə onu ödəmir. Əgər nöqtəsinin koordinatlarını (1) tənliyinin sol tərəfində x,y və z əvəzinə yazdıqda
eyniliyi alınarsa, onda deyirlər ki, nöqtəsinin koordinatları (1) tənliyini ödəyir.
Aydındır ki, hər bir tənlik, ümumiyyətlə, müəyyən bir səthi təyin edən həndəsi xassənin analitik yazılışıdır.
Tərif . İkinci tərtib səth dedikdə elə nöqtələrin həndəsi yeri başa düşülür ki, bu nöqtələrin koordinatları düzbucaqlı dekart koordinat sistemində
Ax2+By2+Cz2+Dxy+Exz+Fyz+Gx+Hy+Kz+L=0 (a)
tənliyini ödəsin. (a) tənliyi ikitərtibli səthlərin ümumi tənliyidir. Bu tənliyin başqa yazılış forması da vardır. Belə ki,
Ax2+By2+Cz2+2Dxy+2Exz+2Fyz+2Gx+2Hy+2Kz+L=0
D, E, F, G, H, K - hərfləri ilə uyğun əmsalların yarısı işarə olunmuşdur.
Misal üçün, əgər tənlik 4x2+y2+z2+6xy+5xz+z+7=0
şəklindədirsə, onda A=4, B=1, C=1, D=3, E= , F=0, G=0, H=0,
K= , L=7.
İkitərtibli səthlərin ümumi tənliyinin tədqiqi kifayət qədər çətin məsələdir. Ona görə də onun bir neçə xüsusi hallarını nəzərdən keçirək. Burada bir sıra müstəsna halları nəzərə almaq lazımdır. Verilmiş tənlik ola bilər ki, adi mənada heç bir səthi təyin etmir və ya ancaq bir nöqtəni təyin edir. Məsələn,
tənliyini heç bir nöqtənin koordinatları ödəmir (tənlik xəyali səth təyin edir).
tənliyi ancaq nöqtəsini təyin edir. Başqa heç bir nöqtənin koordinatları bu tənliyi ödəmir. (1) tənliyi (s) səthinin tənliyidirsə, onda (s) səthi, koordinatları həmin tənliyi ödəyən nöqtələrin həndəsi yeri olar.
Deməli, verilmiş səthin tənliyini tapmaq üçün həmin səthi təyin edən həndəsi xassənin (x, y, z vasitəsilə ) düstur şəklində ifadəsini tapmaq lazımdır. Məsələn, mərkəzi nöqtəsində olan R radiuslu sferanın tənliyi
(2)
olacaqdır.
Doğrudan da, həmin sfera
nöqtəsindən R məsafədə yerləşən bütün
nöqtələrinin həndəsi yeridir. . Bu xassənin analitik şəkildə ifadəsi (2) tənliyi olar. (2) tənliyi x, y və z dəyişənlərinə görə ikidərəcəli tənlikdir. x, y və z dəyişənlərinə görə ikidərəcəli olan tənliklə təyin olunan səthə ikitərtibli səth deyilir. İkitərtibli səthlərin bir sıra sadə növlərini biz göstərəcəyik.
M
Səthlər öz tənliklərinə görə iki növ ola bilər:
Cəbri və transsendent səthlər.
Verilmiş səthi təyin edən (1) tənliyinin sol tərəfi x, y və z dəyişənlərinə nəzərən n dərəcəli çoxhədli olduqda həmin səthə n-tərtibli cəbri səth deyilir. Cəbri olmayan səthlərə transsendent səthlər deyilir.
Cəbri səthlərin tərtibi Dekart koordinat sistemlərinin çevrilməsinə nəzərən invariant kəmiyyətdir.
Birtərtibli cəbri səthin ümumi tənliyi
(3)
bu tənlik isə müstəvi təyin edir. Deməli, birtərtibli cəbri səth müstəvidir.