Sh. Merajova
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matematik fizika tenglamalaridan masalalar toplami
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3-misol. Ushbu tenglamani yeching: (Bu yerda ketma-ket yaqinlashish usulidan foydalanamiz).
x dt t u x t x x u 0 , bunda
x x f va 1 Endi quyidagi munosabatlardagi hadlarni hisoblab chiqamiz:
; 0
x f x u
x x t t x x x t x t tdt x t x u 0 3 3 3 0 2 3 1 ; ! 3 2 3 2 3
x x dt t x t x u 0 5 3 2 ; ! 5 ! 3
x x dt t x t x u 0 5 3 3 ; ! 7 ! 5
va hokazo. Bu ifodalarning hosil bo‘lishidagi qonuniyat ko‘rinib turibdi. Ularning yig‘indidsini hisoblasak, izlanayotgan yechim hosil bo‘ladi:
sin
... ! 7 ! 5 ! 3 7 5 3
x dt t u x t x x u 0 , 38
Topamiz:
x x t t x K K , 1
! 3 3 1 2 1 3 3 1 2 1 , 3 3 3 3 2 2 2
x t x t x x s x t x ds s x ds s x t x ds s x t x s x ds s x t x s x ds x t s x s x ds t s s x t x K x t s x t x t x t s x t x t x t x t Xuddi shu usulda
, 3 ni topamiz:
t x t t x ds t s t s t x dt t s s x t x K ! 5 ! 3 1 ! 3 , 5 3 3 3
va hokazo bularni
... , , , , , 3 2 2 1 t x K t x K t x K t x formulaga qo‘yib rezol’ventani topamiz:
t x t x t x t x t x sin
... ! 5 ! 3 , , 5 3
U holda berilgan tenglamaning yechimi x tdt t x x x u 0 sin bo‘ladi. O‘ng tomondagi integralni hisoblab quyidagi natijani olamiz:
sin
Yuqorida ko‘rsatilga usullardan foydalanib quyidagi misollar yechilsin Mustaqil bajarish uchun mashqlar a)
1 0 ) ( ) ( ) , ( ) (
f dy y y x K x integral tenglamani quyidagi hollar uchun yeching:
b)
1 1 ) ( ) ( ) , ( ) ( x f dy y y x K x integral tenglamani quyidagi hollar uchun yeching:
39
6. K(x,y)=x 4 +5x 3 y, f(x)=x 2 -x 4 7. K(x,y)=2xy 3 +5x 2 y 2 f(x)=7x 4 +3 8. K(x,y)=x 2 -xy f(x)=x 2 +x 9. K(x,y)=5+4xy-3x 2 -3y 2 +9x 2 y 2 f(x)=x c)
0 ) ( ) ( ) , ) ( x f dy y y Kx x integral tenglamani quyidagi hollar uchun yeching: 10.
K(x,y)=sin(2x+y),
f(x)=π-2x 11. K(x,y)=sin(x-2y)
f(x)=cos2x 12. K(x,y)=cos(2x+y),
f(x)=sinx 13. K(x,y)=sin(3x+y),
f(x)=cosx 14. K(x,y)=siny+ycosx f(x)=1-
2
K(x,y)=cos 2 (x-y) f(x)=1+cos4x d)
2 0 ) ( ) ( ) , ( ) ( x f dy y y x K x integral tenglamani quyidagi hollar uchun yeching:
3 cos ) ( , 2 cos
2 cos
cos cos
) , ( 17. x x f y x y x y x K cos
) ( , 2 sin
2 sin
2 cos
cos ) , ( 18. x x f y x y x y x K sin
) ( , 2 cos
2 cos
3 sin
sin ) , ( e) Quyidagi integral tenglamalarning barcha xarakteristik qiymatlarini va shu xarakteristikalarga mos xos funksiyalarini toping
) ( 2 1 ) sin( ) ( 2 0
20. dy y y x x ) ( 2 1 ) ( cos
) ( 2 0 2
21. dy y y x x ) ( 45 2 ) ( 1 0 2 2 22. dy y x y y x x ) ( ) ( 2 0 5 2 5 2
23. dy y y x y x y x y x x ) ( ) sin
4 sin
2 sin
3 sin
3 sin
2 sin
4 sin
(sin ) ( 2 0 40
f) 24. a va b parametrlarning qanday qiymatlarida quyidagi tenglama yechimga ega va shu qiymatlardagi yechimini toping: ? 2 ) ( 3 1 2 12 ) ( 2 1 0 bx ax dy y y x xy x 25. a parametrning qanday qiymatlarida quyidagi tenglama yechimga ega: ? 1 ) ( ) 3 4 ( 3 4 15 ) ( 1 0 2 2 x ax dy y y y x x x y x 26.
parametrning qanday qiymatlerida
2 0 ) ( ) ( ) 2 cos(
) (
f dy y y x x
integral tenglama har qanday 2 , 0 ) ( C x f uchun yechimga ega, shu yechimni toping. g) Barcha va ozod hadga kiruvchi barcha a,b,c parametrlar uchun quyidagi integral tenglamalarning yechimini toping: 27.
2 / 2 / ) ( ) cos sin ( ) ( b ax dy y y x y x
28. 0 sin ) ( ) cos( ) ( b x a dy y y x x
29. 1 1 2 ) ( ) 1 ( ) ( c bx ax dy y xy x
30. 1 1 3 2 2 ) ( ) ( ) ( bx ax dy y xy y x x
31. 1 1 2 2 ) ( ) ( 2 1 ) ( b ax dy y y x xy x
32. 1 1 3 2 3 1 3 1 ) ( ) ( 7 ) ( 5 ) (
ax dy y xy xy x
33. 1 1 2 2 ) ( 1 1 ) ( bx ax dy y y xy x
34. 1 1 2 3 3 ) ( ) ( c bx ax dy y y x x
35. 1 1 2 2 2 2 ) ( ) 3 ( ) ( b ax dy y y x y x xy x
41
k)
36. K(x,y) yadroning xos sonlarini va ularga mos keluvchi xos funksiyalarini toping va barcha ,a,b,c lar uchun quyidagi tenglamani yeching 1 1 ) ( ) ( ) , ( ) ( x f dy y y x K x 1. K(x,y)=3x+xy-5x 2 y 2 f(x)=ax 2. K(x,y)=3xy+5x 2 y 2 f(x)=ax 2 +bx 37.
K(x,y) yadroning xos sonlarini va ularga mos keluvchi xos funksiyalarini toping va barcha ,a,b,c lar uchun quyidagi tenglamani yeching ) ( ) ( ) , ( ) ( x f dy y y x K x
1. K(x,y)=xcosy+sinx . siny f(x)=a+bcosx 2. K(x,y)=xsiny+cosx f(x)=ax+b l) Quyidagi integral tenglamalarni yeching va ; , y x R rezolventasini toping 38.
1 1 ) ( ) ( ) sin( ) ( x f dy y y x x
39. 1 1 ) ( ) ( ) 2 1 ( ) ( x f dy y xy y x
40. b ax dy y x y x x ) ( ) cos
sin ( ) (
41. 2 0 ) ( ) ( ) 2 sin 2 sin
sin (sin
) (
f dy y yy x y x x
p) Har qanday parametr uchun quyidagi integral tenglamalar yechimga ega bo‘ladigan a,b,c parametrlarning barcha qiymatlarini toping:
42.
1 1 2 2 2 ) ( ) ( ) (
bx ax dy y y x xy x
42
43.
1 1 2 ) ( ) 1 ( ) ( c bx ax dy y xy x , bu yerda 1 2
2 c b a . 44. 1 1 2 2 ) ( 1 1 ) ( b x dy y y xy x
45. 1 1 2 1 ) ( ) 3 1 ( ) (
ax dy y xy x
46. 1 1 1 ) ( ) ( ) (
ax dy y y x x
47. 2 0 ) ( ) 4 2 cos( ) (
a x e dy y y x x
48. 1 1 2 ) ( ) 4 sin 2 sin 2 sin
(sin ) ( c bx ax dy y y x y x x
49. 1 1 3 3 2 ) ( ) 1 ( ) (
ax dy y y x x
q) Quyidagi integral tenglamalrnig xos sonlarini va ularga mos keluvchi xos funksiyalarini toping: 50.
1 1 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 ) , ( ) ( 32 3 ) , ( dy dy y y y y x x x x
51. 1 | | 2 1 2 2 ) , ( , ) ( ) | | | (| ) (
x x x dy y y x x
52. 1 | | 3 2 1 ) , , ( , ) ( | | 1 | | 1 ) ( y x x x x dy y x y x
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