Sh. Merajova

Mustaqil bajarish uchun mashqlar 

Quyidagi tenglamalarni kanonik ko‘rinishga keltiring: 

1. u

xx

-6u

xy

+10u

yy

+u

x

-3u

y

=0 

2. 4u

xx

+4u

xy

+u

yy

-2u

y

=0 

3. u

xx

-xu

yy

=0 

4. u

xx

-yu

yy

=0 

5. xu

xx

-yu

yy

=0 

6. yu

xx

-xu

yy

=0 

7. x

2

u

xx

+y

2

u

yy

=0 

8. y

2

u

xx

+x

2

u

yy

=0 

9. y

2

u

xx

-x

2

u

yy

=0 

10. 

(1+x

2

)u

xx

+(1+y

2

)u

yy

+yu

y

=0 

11. 

4y

2

u

xx

-e

2x

u

yy

=0 

12. 

u

xx

-2sinxu

xy

+(2-cos

2

x)u

yy

=0 

13. 

 y

2

u

xx

+2yu

xy

+u

yy

=0 

14. 

x

2

u

xx

-xu

xy

+u

yy

=0. 

1.2 

Ko‘p erkli o‘zgaruvchili funksiyalar (n>2) bo‘lgan hol uchun 

ikkinchi tartibli  xususiy hosilali differensial tenglamalarni kanonik 

ko‘rinishga keltirish 

Ko‘p erkli o‘zgaruvchili ikkinchi tartibli xususiy hosilali differensial 

tenglama  qanday  kanonik  ko‘rinishga  keltiriladi?  Shu  masalani  qarab 

chiqaylik.  Ko‘p  o‘zgaruvchili  chiziqli  ikkinchi  tartibli  xususiy  hosilali 

differensial tenglama quyidagicha berilgan bo‘lsin : 

 

9 

f

Cu

x

u

B

x

x

u

A

n

i

i

i

n

j

i

j

i

ij

























1

,

1

,

2

   

                                              (12) 

U  holda  ushbu  tenglamaning  xarakteristik  tenglamasi  ko‘rinishi 

kvadratik forma bo‘ladi: 







n

j

i

j

i

ij

n

x

A

Q

1

,

1

)

(

)

,...,

(









. 

Har  bir  fiksirlangan 

x

nuqtada 

Q

  kvadratik  formani  uncha  qiyin 

bo‘lmagan  affin  almashtirishlari  yordamida  kanonik  ko‘rinishga 

keltirish mumkin: 







n

i

i

i

Q

1

2





   

 

 

 

 

                      (13) 

Bu yerda 

i



lar 1, -1, 0 qiymatlarni qabul qiladi. (13) dagi manfiy va  

nol  koeffisiyentlar   

Q

ni  kanonik ko‘rinishga keltirsh usuliga bog‘liq 

emas. Shunga asosan (12) tenglama klassifikasiyalanadi. 

Ta’rif: Agar  har bir 

D

x



 nuqtada (13) dagi 

i



 koeffisiyentlar mos 

ravishda: hammasi noldan farqli va bir xil ishorali;  hammasi noldan 

farqli va har xil ishorali; va nihoyat  hech bo‘lmasi bittasi  (hammasi 

emas) nol bo‘lsa, (12) chiziqli tenglama 

D

 sohada elliptik, giperbolik 

yoki parabolik deyiladi,  

Ko‘p  erkli  o‘zgaruvchili  ikkinchi  tartibli  xususiy  hosilali 

differensial  tenglamalardan  bittasini  kanonik  ko‘rinishga  keltirish 

usulini qarab chiqaylik.  

Misol. Quyidagi tenglama berilgan bo‘lsin:  

0

5

4

2

2











zz

yz

yy

xy

xx

u

u

u

u

u

. 

Ushbu 

tenglamaga 

mos 

xarakteristik 

kvadratik 

forma 

2

3

3

2

2

2

2

1

2

1

5

4

2

2

























Q

  ko‘rinishda  bo‘ladi.  Bu  kvadratik  formani, 

masalan,  Lagranj  usulidan  foydalanib  kanonik  ko‘rinishga  keltiramiz: 



 



2

3

2

3

2

2

2

1

2





















Q

. Quyidagi belgilashlar kiritamiz:  

2

1

1











; 

3

2

2

2











; 

3

1







                                                            (*) 

 

10 

va  natijada  Q  formani  kanonik  ko‘rinishga  keltiramiz: 

2

3

2

2

2

1













Q

.  

(*)  tengliklardan 



larni  topib  olamiz.  Shunday  qilib, 



























1

0

0

2

1

0

2

1

1

M

 

matrisali  quyidagi    xosmas  affin  almashtirishlari: 

3

2

1

1

2















, 

3

2

2

2











 , 

3

3







  Q formani kanonik ko‘rinishga keltiradi: 

2

3

2

2

2

1













Q

. 

 

Berilgan  differensial  tenglamani  kanonik  ko‘rinishga  keltiradigan 

xosmas  affin  almashtirishining  matrisasi  M  matrisaga  simmetrik 

bo‘lgan  matrisa  bo‘ladi: 



























1

2

2

0

1

1

0

0

1

*

M

,  bu  almashtirish  quidagi 

ko‘rinishga ega: 

x





; 

y

x









; 

z

y

x







2

2



. 

 

Shulardan  va 

)

,

(

)

,

,

(





v

z

y

x

u



  belgilashdan  foydalanib,  quyidagilarni 

topamiz: 

 













v

v

v

v

v

v

u

xx

4

4

2

4













 ; 







v

v

v

u

yy

4

4







 ;  



v

u

zz



 ; 











v

v

v

v

v

u

xy

4

2

4













 ; 





v

v

u

yz







2

. 

Topilgan  ifodalarni  tenglamaga  etib  qo‘yib,  soddalashtirishlar 

bajargandan so‘ng, berilgan tenglamaning kanonik ko‘rinishini olamiz: 

0













v

v

v

. 

Mustaqil bajarish uchun mashqlar 

Quyidagi tenglamalarni kanonik ko‘rinishga keltiring: 

15. 

u

xx

+2u

xy

-2u

xz

+2u

yy

+6u

zz

=0 

16. 

4u

xx

-4u

xy

-2u

zy

+u

y

+u

z

=0 

17. 

u

xy

-u

xz

+u

x

+u

y

-u

z

=0 

18. 

u

xx

+2u

xy

-2u

xz

+2u

yy

+2u

zz

=0 

19. 

u

xx

+2u

xy

-2u

xz

-6u

yz

-u

zz

=0 

20. 

u

xx

+2u

xy

+2u

yy

+2u

yt

+2u

zz

+3u

tt

=0 

21. 

u

xy

-u

xt

+u

zz

-2u

zt

+2u

tt

=0 

22. 

u

xy

+u

xz

+u

xt

+u

zt

=0 

 

11 

23. 

u

xx

+2u

xy

-2u

zz

-4u

yz

+2u

yt

+u

zz

=0 

24. 

u

xx

+2u

xz

-2u

xt

+u

yy

+2u

yz

+2u

yt

+2u

zz

+2u

tt

=0 

25. 

 

0

2

2

2

2

1

1

1

















n

k

x

x

n

k

x

x

x

x

k

k

k

k

u

u

u

 

26. 

 

 

0

1

2

2

1

1

1













n

k

x

x

k

x

x

k

k

u

u

 

27. 

 

0

2

2













k

l

x

x

n

k

x

x

k

l

k

k

lu

ku

 

28. 

 

0

1













k

l

x

x

n

k

x

x

k

l

k

k

u

u

 

29. 

 

0







k

l

x

x

k

l

u

. 

2. Xususiy hosilali differensial tenglamalarning umumiy yechimini 

topish 

Ta’rif:  Xususiy  hosilali  differensial  tenglamaning  umumiy 

yechimi deb, shu tenglamani qanoatlantiradigan funksiyaga aytiladi. 

Oddiy differensial tenglamalar kursidan ma’lumki, 



n

tartibli  

0

)

,...,

'

,

,

(

)

(



n

y

y

y

x

F

 

tenglamaning  yechimi 

n

  ta  ixtiyoriy  o‘zgarmasga  bog‘liqdir,  ya’ni  

)

,...,

,

(

1

n

c

c

x

y





.  Bu o‘zgarmaslarni aniqlash uchun noma’lum funksiya 

)

(x

y

 

qo‘shimcha shartlarni qanoatlantirishi kerak. 

 

Xususiy  hosilali  differensial  tenglamalar  uchun  bu  masala 

murakkabroqdir. Bu tenglamalarning yechimi  ixtiyoriy o‘zgarmaslarga 

emas,  balki  ixtiyoriy  funksiyalarga  bog‘liq  bo‘lib,  bu  funksiyalar  soni 

tenglamalar 

tartibiga 

teng 

bo‘ladi. 

Ixtiyoriy 

funksiyalar 

argumentlarining soni yechim argumentlari sonidan bitta kam bo‘ladi. 

 

2.1 

O‘zgarmas koeffisiyentli xususiy hosilali differensial 

tenglamalarning umumiy yechimini topish 

  Misol. Quyidagi tenglamaning umumiy yechimini toping:  u

xy

=0.  

 

12 

Dastlab 

x

 bo‘yicha, so‘ngra 

y

 bo‘yicha integrallaymiz, natijada 

)

(

)

(

)

,

(

2

1

y

f

x

f

y

x

u





yechimni olamiz. Ko‘rib turganingizdek, xususiy 

hosilali differensial tenglamaning yechimida tenglama tartibiga teng 

miqdorda, ya’ni ikkita funksiya qatnashayapti, bu funksiyalar 

argumenti esa yechim argumentlari sonidan bitta kam. 

Misol. Quyidagi tenglamaning ham umumiy yechimini topaylik:  

u

xyy

=0. 

Yuqoridagidek mulohaza yuritsak umumiy yechim: 

 

)

(

)

(

)

(

)

,

(

3

2

1

y

f

x

f

y

x

f

y

x

u







. 

Misol. Quyidagi tenglamaning ham umumiy yechimini topaylik:   

u

xyz

=0. 

Yuqoridagidek mulohaza yuritsak umumiy yechim:  

)

,

(

)

,

(

)

,

(

)

,

,

(

3

2

1

z

y

f

z

x

f

x

y

x

f

y

x

z

y

x

u













. 

Oxirgi  misolda,  ko‘rib  turganingizdek  yechimda  tenglama  tartibiga 

mos uchta  funksiya qatnashaypti,  yechim uch o‘zgaruvchili bo‘lgani 

uchun bu funksiyalar argumenti ikki o‘zgaruvchili. 

 

Mustaqil bajarish uchun mashqlar 

Quyida berilgan tenglamalarning umumiy yechimini toping:  

1. u

xx

-a

2

u

yy

=0 

2. u

xx

-2u

xy

-3u

yy

=0 

3. u

xy

+au

x

=0 

4. 3u

xx

-5u

xy

-2u

yy

+3u

x

+u

y

=2 

5. u

xy

+au

x

+bu

y

+abu=0 

6. u

xy

-2u

x

-3u

y

+6u=2e

x+y

 

7. u

xx

+2au

xy

+a

2

u

yy

+u

x

+au

y

=0. 

 

 

13 

2.2 Xususiy hosilali differensial tenglamalarning turi saqlanadigan 

sohada umumiy yechimini topish 

 

Misol.  Quyidagi  tenglamaning  turi  saqlanadigan  sohani  topib, 

umumiy ychimini aniqlang: x

2

u

xx

-y

2

u

yy

=0. 

,

2

1 1

x

a



 

,

0

1 2



a

 

2

2 2

y

a





  -  tenglama  koeffisiyentlari. 

22

11

2

12

a

a

a







  ifodaninig 

qiymatini  hisoblaymiz. 

 

2

xy





,    hamma  chorakda  tenglamamiz 

giperbolik ekan. Yangi 



 va 



 o‘zgaruvchilkarga o‘tamiz : 

xy





, 

y

x





  almashtirish  yordamida  berilgan  tenglamani  kanonik 

ko‘rinishga keltiramiz. Kanonik ko‘rinishi quyidagicha: 

0

2

1











u

u

. 

Unda 

v

u





 almashtirsh bajarib tenglamani yechamiz, natijada 























)

(

)

(

)

(

ln

ln

2

1

ln















f

u

f

v

f

v



 

)

(

)

(







g

f

u





 

yechimni  olamiz.  Dastlabki  o‘zgaruvchilarga  qaytsak,  biz  izlayotgan 

umumiy yechim : 

 

xy

g

y

x

f

xy

y

x

u



















|

|

)

,

(

 

bo‘ladi.