Sh. Merajova

Masala: 



































z

xy

z

y

x

u

xyz

z

y

x

u

bt

ax

u

u

u

u

t

zz

yy

xx

tt

0

,

,

,

0

,

,

,

 masalani (4)  formula bilan yeching. 

xyz

u



0

  funksiyaga  keraklicha  marta 



  operatorni  qo‘llaymiz: 

xyz

u

u







0

0

0

; 

0

0

0

0

)

,

,

(

0

0

0

0

0

1





















zz

yy

xx

u

u

u

z

y

x

u

u

.  Laplas  operatorini 

keyingi  qo‘llashlarda  ham  nol  chiqadi,  demak  hisoblashni  shu  yerda 

to‘xtatamiz. 

 

19 

Xuddi  shu  hisoblashlarni 

f

u ,

1

  funksiyalr  uchun  ham  bajaramiz: 

z

xy

u

u









1

1

0

; 

0

...

1

2

1

1











u

u

; 

bt

ax

f

f









0

; 

0

...

2

1











f

f

. 

Hisoblashlarni (4) formulaga etib qo‘yamiz, natijada:  

6

2

)

(

)

(

)

(

)

(

)

,

,

,

(

3

2

0

bt

axt

z

xy

t

xyz

d

b

ax

t

z

xy

t

xyz

t

z

y

x

u

t































 yechimni olamiz. 

Mustaqil bajarish uchun mashqlar 

Quyidagi chegaraviy masalalarni yeching: 

a) (n=1) 

18. 

   

u

tt

=u

xx

+6;    u|

t=0

=x

2

,   u

t

|

t=0

=4x 

19. 

  

u

tt

=4u

xx

+xt; u|

t=0

=x

2

,   u

t

|

t=0

=x 

20. 

  

u

tt

=u

xx

+sinx; u|

t=0

=sinx,   u

t

|

t=0

=0 

21. 

  

u

tt

=u

xx

+e

x

;  u|

t=0

=sinx,   u

t

|

t=0

=x+cosx 

22. 

  

u

tt

=9u

xx

+sinx;  u|

t=0

=1,   u

t

|

t=0

=1 

23. 

  

u

tt

=a

2

u

xx

+sin



x;  u|

t=0

=0,   u

t

|

t=0

=0 

24. 

   

u

tt

=a

2

u

xx

+sin



t;  u|

t=0

=0,   u

t

|

t=0

=0 

b) (n=2): 

25.     u

tt

=∆u+2; u|

t=0

=x; u

t

|

t=0

=y 

26.     u

tt

=∆u+6xyt; u|

t=0

=x

2

-y

2

; 

u

t

|

t=0

=xy 

27.     u

tt

=∆u+x

3

-3xy

2

;  u|

t=0

=e

x

cos y; 

u

t

|

t=0

=e

y

sinx 

28.     u

tt

=∆u+t siny; u|

t=0

=x

2

; u

t

|

t=0

=siny 

29.     u

tt

=2∆u;    u|

t=0

=2x

2

-y

2

;  

u

t

|

t=0

=2x

2

+y

2

 

30.     u

tt

=3∆u+x

3

+y

3

; u|

t=0

=x

2

; 

u

t

|

t=0

=y

2

 

31.     u

tt

=∆u+e

3x+4y

; u|

t=0

=u

t

;   

u

t

|

t=0

=e

3x+4y

  

32.     u

tt

=a

2

∆u,  u|

t=0

=cos(bx+cy);  u

t

|

t=0

=sin (bx+cy) 

33.     u

tt

=a

2

∆u,  u|

t=0

=r

4

; u

t

|

t=0

=r

4

 , bu yerda 

2

2

y

x

r





 

34.     u

tt

=a

2

∆u+r

2

e

t

,  u|

t=0

=0;  u

t

|

t=0

=0 

c) (n=3) 

35. 

   

u

tt

=∆u+2xyz,   u|

t=0

=x

2

+y

2

-2z

2

; 

u

t

|

t=0

=1 

36. 

   

u

tt

=8∆u+t

2

x

2

,   u|

t=0

=y

2

;  

u

t

|

t=0

=z

2

 

 

20 

37. 

  

 u

tt

=3∆u+6r

2

,   u|

t=0

=x

2

y

2

z

2

;  u

t

|

t=0

=xyz 

38. 

   

u

tt

=∆u+6te

2

x

sin y cos z,  

 

 

x

e

u

z

e

u

z

y

t

t

y

x

t

5

sin

,

2

cos

4

3

0

0













 

39. 

   

u

tt

=a

2

∆u,  

 u|

t=0

=u

t

|

t=0

=r

4

 bu yerda 

2

2

2

z

y

x

r







 

40. 

   

u

tt

=a

2

∆u+r

2

e

t

,  

 u|

t=0

=u

t

|

t=0

=0 bu yerda 

2

2

2

z

y

x

r







 

41. 

   

u

tt

=a

2

∆u+cos x sin ye

z

,    u|

t=0

=x

2

e

y+z

;  u

t

|

t=0

=sinxe

y+z

 

42. 

 

 u

tt

=a

2

∆u+xe

t

cos(3y+4z), u|

t=0

=xycosz;u

t

|

t=0

=yze

x

 

43. 

  

 u

tt

=a

2

∆u,  

 u|

t=0

=u

t

|

t=0

=cosr, bu yerda 

2

2

2

z

y

x

r







 

 

4. 

Issiqlik o‘tkazuvchanlik tenglamasi uchun Koshi masalasi 

)

0

(

)

0

(

2







t

C

t

C

  sinfdan  shunday 

)

,

( t

x

u

funksiya  topilsinki,  bu 

funksiya 

n

R

x



, 

0



t

da  

)

,

(

2

t

x

f

u

a

u

t







  

tenglamani va quyidagi boshlang‘ich shartni qanoatlantirsin: 

),

(

|

0

0

x

u

u

t







 

bu yerda 

0

, u

f

 - berilgan funksiyalar. 

Bu masalaga issiqlik o‘tkazuvchanlik tenglamasi uchun Koshining 

klassik masalasi deyiladi. 

Agar 

)

0

(

2





t

C

f

  funksiya  va  uning  barcha  ikkinchi  tartibigacha 

hosilalari  har  bir 

T

t





0

  sohada  chegaralangan, 

)

(

0

n

R

C

u



funksiya 

chegaralangan bo‘lsa, u vaqtda Koshining klassik masalasining yechimi 

mavjud, yagona va quyidagi Puasson formulasi orqali topiladi: 









 



















t

R

t

a

x

n

R

t

a

x

n

n

n

d

d

e

t

a

f

d

e

u

t

a

t

x

u

0

)

(

4

|

|

4

|

|

0

2

2

2

2

(

2

)

,

(

)

(

2

1

)

,

(

























.                           (1) 

Quyidagi formuladan ham foydalansa bo‘ladi: 











































0

1

0

1

2

1

0

,

,...,

)

(

)!

1

2

(

1

,...,

)!

(

)

,

(

k

n

k

t

k

n

k

k

d

x

x

f

t

k

x

x

u

k

t

t

x

u







.                       (2) 

Masala. u

t

=4u

xx

+t+e

t

,    

u|

t=0

=2.   Koshi masalasini yeching. 

 

21 

Ushbu  misolni  yechish  uchun  (1)  formuladan  foydalanamiz. 

Bizning  holimizda 

2



a

, 

2

)

(

0



x

u

, 

t

e

t

t

x

f





)

,

(

  -  berilganlar.  Shu 

qiymatlarni (1) formulaga etib qo‘yamiz:  

2

1

0

)

(

1 6

)

(

1 6

)

(

2

2

)

(

4

2

2

2

1

)

,

(

I

I

d

d

e

t

e

d

e

t

t

x

u

t

t

x

t

x















 















































,   

                (3) 

 bu yerda 





















d

e

t

I

t

x

1 6

)

(

1

2

2

1

 va  

 



















t

t

x

d

d

e

t

e

I

0

)

(

1 6

)

(

2

2

)

(

4

















.  Integralarni 

alohida-alohida hisoblaymiz. 

 





,

2

2

integrali.

Puasson 

 

-

 

2

t

4

-

2

1

t

-4

t

4

-

x

kiritamiz,

belgilash 

 

4

2

1

2

2

2

2

1 6

)

(

1











































































































































d

e

d

e

d

e

t

d

d

t

x

d

e

t

I

t

x

 

demak, 

2

1



I

. 

 



















t

t

x

d

d

e

t

e

I

0

)

(

1 6

)

(

2

2

)

(

4

















 -  bu integralni hisoblashda ham yuqoridagi 

kabi  fikr  yuritib,  hisoblashlarni  bajaramiz  va  quyidagi  natijani  olamiz: 

1

2

2

2







t

e

t

I

.  Ikkala  integralni  etib  (3)  ga  qo‘yamiz,  natijada  quyidagi 

yechimni olamiz: 

1

2

)

,

(

2







t

e

t

t

x

u

.