Shba-70-22-guruh talabasi

O’ZBEKISTON RESPUBLIKASI
OLIY TA’LIM, FAN VA INNOVATSIYALAR VAZIRLIGI
TOSHKENT MOLIYA INSTITUTI


ANDIJON FAKULTETI
“Buxgalteriya hisobi va audit” yo’nalishi
I bosqich SHBA-70-22-guruh talabasi
___________________ning
“________________________” mavzusida tayyorlagan mustqil ish

Mustaqil ishi

Bajardi:

Tekshirdi: KO’CHKAROV.M

Oltinko’l
MAVZU: Differensiallanuvchi funksiyalar uchun monotonlik va qavariqlik sharti
REJA
1Funksiyaning monotonligi kritik va ekstremum nuqtalari
2 Funksiya grafigining botiqligiqavariqligi va egilish nuqtalari
3Kompleks o‘zgaruvchili funksiya hosilasi ta`rifi. Koshi-Riman shartlari
Oʻsuvchi yoki kamayuvchi funksiyalar. Berilgan funksiya biror oraliqda monoton boʻlishi uchun uning orttirmasi Af(x)=f(x+Ax)-f(x), Dx>0, oraliqda ishorasini oʻzgartirmasligi lozim. Agar Ax>0 boʻlganda D/(x) noldan qatʼiy katta yoki qatʼiy kichik boʻlsa, u holda f(x) qatʼiy monoton funksiya deyiladi. Biror oraliqda differensiyalanuvchi funksiya shu oraliqda monoton boʻlishi uchun uning hosilasi oʻzgarmas ishorani saqlashi zarur va yetarlidir.
E'tibor bering, y = f (x) funktsiyamizning harakati asosan ikkita x1 va x2 nuqtalari bilan belgilanadi. Keling, ushbu nuqtalar va ularning atrofidagi funktsiya grafigini diqqat bilan ko'rib chiqaylik. Funksiya x2 nuqtagacha ortadi, x2 nuqtada burilish sodir bo'ladi va shu nuqtadan so'ng darhol funksiya x1 nuqtaga kamayadi. X1 nuqtada funksiya yana egilib, undan keyin yana ortadi. Hozircha x1 va x2 nuqtalari burilish nuqtalari deb ataladi. Keling, ushbu nuqtalarda tangenslarni chizamiz: Bizning nuqtalarimizdagi teglar abscissa o'qiga parallel, ya'ni tangensning qiyaligi nolga teng. Bu shuni anglatadiki, bizning funktsiyamizning ushbu nuqtalardagi hosilasi ham nolga teng. Keling, ushbu funktsiyaning grafigini ko'rib chiqaylik: X2 va x1 nuqtalarda tangenslarni chizish mumkin emas. Bu shuni anglatadiki, lotin bu nuqtalarda mavjud emas. Endi ikkita grafikdagi nuqtalarimizni yana bir bor ko'rib chiqamiz. X2 nuqta - funksiya qaysidir sohada (x2 nuqta yaqinida) eng katta qiymatiga yetadigan nuqtadir. X1 nuqta - funksiya qaysidir sohada (x1 nuqta yaqinida) eng kichik qiymatiga yetadigan nuqtadir. Minimal va maksimal ball Ta'rif: x = x0 nuqtaga y = f (x) funksiyaning minimal nuqtasi deyiladi, agar x0 nuqtaning qo'shnisi bo'lsa, unda tengsizlik o'rinli bo'ladi: f (x) ≥ f (x0). Ta'rif: x = x0 nuqtaga y = f (x) funktsiyaning maksimal nuqtasi deyiladi, agar x0 nuqtaning qo'shnisi bo'lsa, unda tengsizlik bajariladi: f (x) ≤ f (x0). Bolalar, mahalla nima? Ta'rif: Nuqta qo'shnisi - bu bizning va unga yaqin nuqtalarni o'z ichiga olgan nuqtalar to'plami. Biz mahallani o'zimiz belgilashimiz mumkin. Masalan, x = 2 nuqta uchun biz qo'shnilikni 1 va 3 nuqtalar sifatida belgilashimiz mumkin. Grafiklarimizga qaytaylik, x2 nuqtasiga qaraymiz, u ma'lum bir mahallaning barcha boshqa nuqtalaridan kattaroqdir, demak, ta'rifga ko'ra, bu maksimal nuqtadir. Endi x1 nuqtasini ko'rib chiqamiz, u ba'zi bir mahallaning boshqa barcha nuqtalaridan kichikroq, demak, ta'rifga ko'ra, u minimal nuqtadir. Bolalar, keling, belgi bilan tanishamiz: Y min - minimal nuqta, y max - maksimal nuqta. Muhim! Bolalar, maksimal va minimal nuqtalarni funksiyaning eng kichik va eng katta qiymati bilan aralashtirib yubormang. Eng kichik va eng katta qiymatlar butun domen bo'ylab qidiriladi berilgan funksiya, va minimal va maksimal ball ba'zi bir mahallada. Ekstremal funktsiya Minimal va maksimal ballar uchun umumiy atama mavjud - ekstremum nuqtalar. Ekstremum (lotincha extremum - ekstremal) - maksimal yoki minimal qiymat berilgan to'plamdagi funktsiyalar. Ekstremumga erishilgan nuqta ekstremum nuqtasi deb ataladi. Shunga ko'ra, agar minimal darajaga erishilsa, ekstremal nuqta minimal nuqta deb ataladi va agar maksimal nuqta maksimal bo'lsa. Funksiyaning ekstremalini qanday topish mumkin? Keling, grafikalarimizga qaytaylik. Bizning nuqtalarimizda hosila yo yo'qoladi (birinchi grafikda) yoki mavjud emas (ikkinchi grafikda). Shunda muhim gapni aytish mumkin: Agar y = f (x) funksiya x = x0 nuqtada ekstremumga ega bo'lsa, u holda bu nuqtada funktsiyaning hosilasi nolga teng yoki mavjud emas. Hosil nolga teng bo'lgan nuqtalar deyiladi statsionar. Funktsiyaning hosilasi mavjud bo'lmagan nuqtalar deyiladi tanqidiy. Ekstremalni qanday hisoblash mumkin? Bolalar, keling, funksiyaning birinchi grafigiga yana qaytaylik: Bu grafikni tahlil qilib, dedik: x2 nuqtaga qadar funktsiya ortib boradi, x2 nuqtada burilish sodir bo'ladi va bu nuqtadan keyin funksiya x1 nuqtaga kamayadi. X1 nuqtada funksiya yana egilib, undan keyin funksiya yana ortadi. Bunday mulohazalarga asoslanib, xulosa qilishimiz mumkinki, ekstremum nuqtalardagi funksiya monotonlik xarakterini o'zgartiradi va shuning uchun hosila funktsiya belgini o'zgartiradi. Esda tutaylik: agar funktsiya kamaysa, hosila noldan kichik yoki teng bo'ladi, agar funktsiya oshsa, hosila noldan katta yoki teng bo'ladi. Keling, bayonot bilan olingan bilimlarni umumlashtiramiz: Teorema: Ekstremum uchun yetarli shart: y = f (x) funksiya qandaydir X intervalda uzluksiz bo‘lsin va interval ichida x = x0 statsionar yoki kritik nuqtaga ega bo‘lsin. Keyin: Agar bu nuqta x x0 uchun f '(x)> 0 o'rinli bo'lgan qo'shnilikka ega bo'lsa, u holda x0 nuqta y = f (x) funktsiyaning minimal nuqtasidir. Agar bu nuqta x 0 uchun va x> x0 uchun qo'shnilikka ega bo'lsa, f '(x) o'rinli bo'ladi. Agar bu nuqta x0 nuqtaning chap va o'ng tomonida hosilaning belgilari bir xil bo'lgan qo'shnilikka ega bo'lsa. , u holda x0 nuqtada ekstremal yo'q. Muammolarni hal qilish uchun ushbu qoidalarni eslang: Agar hosilalarning belgilari aniqlansa, u holda: Monotonlik va ekstremallik uchun uzluksiz y = f (x) funktsiyani o'rganish algoritmi: y ' hosilasini toping. Statsionar (hosilasi nolga teng) va kritik nuqtalarni (hosilasi mavjud emas) toping. Raqamlar chizig'idagi statsionar va kritik nuqtalarni belgilang va hosil bo'lgan intervallardagi hosilaning belgilarini aniqlang. Yuqoridagi fikrlarga asoslanib, ekstremum nuqtalarining tabiati haqida xulosa chiqaring. Ekstremum nuqtani topishga misollar 1) Funksiyaning ekstremum nuqtalarini toping va ularning tabiatini aniqlang: y = 7+ 12 * x - x 3 Yechim: Bizning funktsiyamiz uzluksiz, keyin biz algoritmimizdan foydalanamiz: a) y "= 12 - 3x 2, b) y "= 0, x = ± 2 uchun, x = -2 nuqta funksiyaning minimal nuqtasi, x = 2 nuqta funksiyaning maksimal nuqtasidir. Javob: x = -2 funksiyaning minimal nuqtasi, x = 2 funksiyaning maksimal nuqtasi. 2) Funksiyaning ekstremum nuqtalarini toping va ularning xarakterini aniqlang. Yechim: Bizning funksiyamiz uzluksiz. Keling, algoritmimizdan foydalanamiz: a) b) hosila x = 2 nuqtada mavjud emas, chunki siz nolga bo'la olmaysiz, Funktsiya sohasi:, bu nuqtada ekstremum yo'q, chunki nuqtaning qo'shnisi aniqlanmagan. Hosil nolga teng bo'lgan qiymatlarni toping: v) sonlar chizig'idagi statsionar nuqtalarni belgilaymiz va hosilaning belgilarini aniqlaymiz: d) ekstremumni aniqlash qoidalarini ko'rsatadigan rasmimizni ko'rib chiqaylik. x = 3 nuqtasi funksiyaning minimal nuqtasidir. Javob: x = 3 - funktsiyaning minimal nuqtasi. 3) y = x - 2cos (x) funksiyaning ekstremum nuqtalarini toping va ularning xarakterini aniqlang, -p ≤ x ≤ p uchun. Yechish: Funktsiyamiz uzluksiz, keling algoritmimizdan foydalanamiz: a) y "= 1 + 2sin (x), b) hosilasi nolga teng bo'lgan qiymatlarni toping: 1 + 2sin (x) = 0, sin (x) = -1/2, beri -p ≤ x ≤ p, keyin: x = -p / 6, -5p / 6, v) sanoq chizig'idagi turg'un nuqtalarni belgilang va hosila belgilarini aniqlang: d) ekstremumni aniqlash qoidalarini ko'rsatadigan rasmimizni ko'rib chiqaylik. x = -5p / 6 nuqtasi funksiyaning maksimal nuqtasidir. x = -p / 6 nuqta funktsiyaning minimal nuqtasidir. Javob: x = -5p / 6 - funktsiyaning maksimal nuqtasi, x = -p / 6 - funktsiyaning minimal nuqtasi. 4) Funksiyaning ekstremum nuqtalarini toping va ularning tabiatini aniqlang: Yechish: Funksiyamiz faqat bir nuqtada x = 0 uzilishga ega. Algoritmdan foydalanamiz: a) b) hosila nolga teng bo'lgan qiymatlarni toping: x = ± 2 da y "= 0, v) sanoq chizig'idagi turg'un nuqtalarni belgilang va hosila belgilarini aniqlang: d) ekstremumni aniqlash qoidalarini ko'rsatadigan rasmimizni ko'rib chiqaylik. x = -2 nuqta funktsiyaning minimal nuqtasidir. x = 2 nuqta funktsiyaning minimal nuqtasidir. Funktsiya x = 0 nuqtada mavjud emas. Javob: x = ± 2 - funktsiyaning minimal nuqtalari. Mustaqil hal qilish uchun vazifalar a) Funksiyaning ekstremum nuqtalarini toping va ularning tabiatini aniqlang: y = 5x 3 - 15x - 5. b) funksiyaning ekstremum nuqtalarini toping va ularning tabiatini aniqlang: v) funksiyaning ekstremum nuqtalarini toping va ularning xarakterini aniqlang: p ≤ x ≤ 3p uchun y = 2sin (x) - x. d) funksiyaning ekstremum nuqtalarini toping va ularning tabiatini aniqlang: Funksiyaning ekstremum nuqtasi funksiyaning qiymati minimal yoki maksimal qiymatni qabul qiladigan funktsiya sohasi nuqtasidir. Funktsiyaning ushbu nuqtalardagi qiymatlari funktsiyaning ekstremasi (minimal va maksimal) deb ataladi. Ta'rif... Nuqta x1 funktsiya domeni f(x) deyiladi funktsiyaning maksimal nuqtasi bu nuqtada funksiyaning qiymati bo'lsa ko'proq qadriyatlar Unga etarlicha yaqin bo'lgan, uning o'ng va chap tomonida joylashgan nuqtalarda funktsiya (ya'ni tengsizlik f(x0 ) > f(x 0 + Δ x) x1 maksimal. Ta'rif... Nuqta x2 funktsiya domeni f(x) deyiladi funktsiyaning minimal nuqtasi, agar funktsiyaning ushbu nuqtadagi qiymati uning o'ng va chap tomonida joylashgan unga etarlicha yaqin nuqtalardagi funktsiya qiymatlaridan kichik bo'lsa (ya'ni tengsizlik) f(x0 ) < f(x 0 + Δ x) ). Bu holda funksiya nuqtada mavjud deyiladi x2 eng kam. Keling, nuqta aytaylik x1 funksiyaning maksimal nuqtasidir f(x). Keyin gacha bo'lgan oraliqda x1 funktsiyasi ortadi, shuning uchun funktsiyaning hosilasi noldan katta ( f "(x)> 0) va undan keyingi oraliqda x1 funktsiya kamayadi, shuning uchun va funktsiyaning hosilasi noldan kam ( f "(x) < 0 ). Тогда в точке x1 Keling, fikrni ham taxmin qilaylik x2 funktsiyaning minimal nuqtasidir f(x). Keyin gacha bo'lgan oraliqda x2 funktsiya kamayadi va funktsiyaning hosilasi noldan kichik ( f "(x) < 0 ), а в интервале после x2 funktsiya ortadi va funktsiyaning hosilasi noldan katta bo'ladi ( f "(x)> 0). Bu holatda, shuningdek, nuqtada x2 funksiyaning hosilasi nolga teng yoki mavjud emas. Ferma teoremasi (funksiya ekstremumining mavjudligi uchun zaruriy mezon)... Agar nuqta x0 funksiyaning ekstremum nuqtasidir f(x), u holda bu nuqtada funktsiyaning hosilasi nolga teng ( f "(x) = 0) yoki mavjud emas. Ta'rif... Funktsiyaning hosilasi nolga teng bo'lgan yoki mavjud bo'lmagan nuqtalar deyiladi tanqidiy nuqtalar . 1-misol. Funktsiyani ko'rib chiqaylik. Shu nuqtada x= 0, funktsiyaning hosilasi nolga teng, shuning uchun nuqta x= 0 kritik nuqtadir. Biroq, funktsiyaning grafigida ko'rinib turganidek, u ta'rifning butun maydoni bo'ylab ortadi, shuning uchun nuqta x= 0 bu funksiyaning ekstremum nuqtasi emas. Shunday qilib, nuqtadagi funktsiyaning hosilasi nolga teng yoki mavjud bo'lmagan shartlar ekstremum uchun zarur shartlardir, ammo etarli emas, chunki bu shartlar qondiriladigan, ammo funktsiyaga ega bo'lmagan boshqa funktsiyalar misollari. mos keladigan nuqtada ekstremum berilishi mumkin. Shunung uchun etarli belgilarga ega bo'lishingiz kerak, ma'lum bir muhim nuqtada ekstremum mavjudligini va qaysi biri maksimal yoki minimal ekanligini aniqlash imkonini beradi. Teorema (funksiya ekstremumining mavjudligi uchun birinchi etarli mezon). Kritik nuqta x0 f(x), agar funktsiyaning hosilasi bu nuqtadan o'tganda ishorani o'zgartirsa va ishora "ortiqcha" dan "minus" ga o'zgarmasa, u holda maksimal nuqta va "minus" dan "plyus" ga bo'lsa, minimal nuqta. . Agar nuqtaga yaqin bo'lsa x0 , uning chap va o'ng tomonida hosila belgisini saqlab qoladi, bu funktsiya nuqtaning ayrim qo'shnilarida faqat kamayadi yoki faqat ortadi degan ma'noni anglatadi. x0 ... Bunday holda, nuqtada x0 ekstremal yo'q. Shunday qilib, funktsiyaning ekstremum nuqtalarini aniqlash uchun siz quyidagilarni bajarishingiz kerak : Funktsiyaning hosilasini toping. Losimni nolga qo'ying va kritik nuqtalarni aniqlang. Aqliy yoki qog'ozda raqamli o'qdagi tanqidiy nuqtalarni belgilang va olingan intervallarda funktsiya hosilasining belgilarini aniqlang. Agar hosilaning belgisi "ortiqcha" dan "minus" ga o'zgartirilsa, u holda kritik nuqta maksimal nuqta, agar "minus" dan "ortiqcha" bo'lsa, u holda minimal nuqta hisoblanadi. Ekstremum nuqtalarda funksiya qiymatini hisoblang. 2-misol. Funksiyaning ekstremal qismini toping . Yechim. Funktsiyaning hosilasini topamiz: Kritik nuqtalarni topish uchun hosilani nolga tenglashtiramiz: . "X" ning har qanday qiymatlari uchun maxraj nolga teng bo'lmaganligi sababli, biz raqamni nolga tenglashtiramiz: Bitta burilish nuqtasi bor x= 3. Ushbu nuqta bilan chegaralangan oraliqlarda hosilaning belgisini aniqlaymiz: minus cheksizlikdan 3 gacha - minus belgisi, ya'ni funktsiya kamayadi, 3 dan ortiqcha cheksizlik oralig'ida - ortiqcha belgisi, ya'ni funksiya ortadi. Ya'ni, nuqta x= 3 - minimal nuqta. Funksiyaning minimal nuqtadagi qiymatini topamiz: Shunday qilib, funksiyaning ekstremum nuqtasi topiladi: (3; 0) va u minimal nuqtadir. Teorema (funksiya ekstremumining mavjudligi uchun ikkinchi etarli mezon). Kritik nuqta x0 funksiyaning ekstremum nuqtasidir f(x) agar funktsiyaning bu nuqtadagi ikkinchi hosilasi nolga teng bo'lmasa ( f ""(x) ≠ 0) va agar ikkinchi hosila noldan katta bo'lsa ( f ""(x)> 0), u holda maksimal nuqta va agar ikkinchi hosila noldan kichik bo'lsa ( f ""(x) < 0 ), то точкой минимума. Izoh 1. Agar nuqtada x0 ham birinchi, ham ikkinchi hosilalar yo'qoladi, keyin bu nuqtada ikkinchi etarli mezon asosida ekstremum mavjudligini hukm qilish mumkin emas. Bunday holda, funktsiya ekstremumining birinchi etarli ko'rsatkichidan foydalanish kerak. Izoh 2. Agar birinchi hosila statsionar nuqtada mavjud bo'lmasa (u holda ikkinchi hosila ham mavjud emas) funksiya ekstremumining ikkinchi yetarli mezoni ham qo'llanilmaydi. Bunday holda, funktsiya ekstremumining birinchi etarli ko'rsatkichidan ham foydalanish kerak. Funksiya ekstremasining mahalliy xarakteri Yuqoridagi ta'riflardan kelib chiqadiki, funktsiyaning ekstremumi mahalliy xususiyatga ega - bu eng yaqin qiymatlarga nisbatan funksiyaning eng katta va eng kichik qiymati. Aytaylik, siz bir yil davomidagi daromadingizni ko'rib chiqyapsiz. Agar siz may oyida 45 000 rubl, aprel oyida 42 000 rubl va iyun oyida 39 000 rubl ishlagan bo'lsangiz, may oyidagi daromad eng yaqin qiymatlar bilan taqqoslaganda daromad funktsiyasining maksimal ko'rsatkichidir. Ammo oktyabr oyida siz 71 000 rubl, sentyabrda 75 000 rubl va noyabrda 74 000 rubl ishlab oldingiz, shuning uchun oktyabr oyidagi daromadlar yaqin atrofdagi qiymatlar bilan solishtirganda daromad funktsiyasining minimalidir. Va aprel-may-iyun oylaridagi maksimal qiymat sentyabr-oktyabr-noyabr oylaridagi minimumdan kamroq ekanligini osongina ko'rishingiz mumkin. Umuman olganda, funktsiya oraliqda bir nechta ekstremallarga ega bo'lishi mumkin va funktsiyaning istalgan minimali har qanday maksimaldan katta bo'lishi mumkin. Shunday qilib, yuqoridagi rasmda ko'rsatilgan funktsiya uchun. Ya'ni, funktsiyaning maksimal va minimal qiymatlari mos ravishda uning barcha ko'rib chiqilgan oraliqdagi eng katta va eng kichik qiymatlari deb o'ylamaslik kerak. Maksimal nuqtada funksiya mavjud eng yuqori qiymat faqat barcha nuqtalarda maksimal nuqtaga yaqin bo'lgan qiymatlar bilan solishtirganda va minimal nuqtada - eng kichik qiymat faqat barcha nuqtalarda minimal nuqtaga etarlicha yaqin bo'lgan qiymatlarga nisbatan. . Demak, funksiyaning ekstremum nuqtalari haqidagi yuqoridagi tushunchasini takomillashtirish va minimal nuqtalarni mahalliy minimal nuqtalar, maksimal nuqtalarni esa mahalliy maksimal nuqtalar deb atash mumkin. Birgalikda funksiyaning ekstremallarini qidiring 3-misol. Yechish: Funksiya butun sonlar qatorida aniqlangan va uzluksizdir. Uning hosilasi butun son qatorida ham mavjud. Shuning uchun, bu holda, tanqidiy nuqtalar faqat ularda, ya'ni. , qayerdan va. Kritik nuqtalar va funktsiyaning butun sohasini uchta monotonlik oralig'iga bo'ling:. Ularning har birida bittadan nazorat nuqtasini tanlaymiz va shu nuqtadagi hosila belgisini topamiz. Interval uchun nazorat nuqtasi bo'lishi mumkin: topish. Intervaldagi nuqtani olib, biz olamiz va intervalda bir nuqta olib, biz bor. Shunday qilib, oraliqlarda va, va intervalda. Ekstremum uchun birinchi etarli mezonga ko'ra, nuqtada ekstremum yo'q (chunki hosila intervalda o'z belgisini saqlab qoladi) va nuqtada funktsiya minimalga ega (chunki hosila o'tish paytida minusdan plyusga o'zgaradi. bu nuqta orqali). Funktsiyaning mos qiymatlarini topamiz:, va. Intervalda funktsiya kamayadi, chunki bu oraliqda va intervalda u ortadi, chunki bu oraliqda. Grafikni qurishni aniqlashtirish uchun uning koordinata o'qlari bilan kesishish nuqtalarini topamiz. Chunki funktsiya grafigining ildizlari va ya'ni ikkita nuqtasi (0; 0) va (4; 0) topilgan tenglamani olamiz. Olingan barcha ma'lumotlardan foydalanib, biz grafik tuzamiz (misolning boshiga qarang). 4-misol. Funksiyaning ekstremal qismini toping va uning grafigini tuzing. Funktsiyaning sohasi nuqtadan tashqari butun son chizig'idir, ya'ni. ... Tadqiqotni qisqartirish uchun siz ushbu funktsiyaning teng bo'lishidan foydalanishingiz mumkin, chunki ... Shuning uchun uning grafigi o'qga nisbatan simmetrikdir Oy va qidiruv faqat interval uchun amalga oshirilishi mumkin. Hosilini toping va funktsiyaning kritik nuqtalari: 1) ; 2) , lekin funksiya shu nuqtada uziladi, shuning uchun u ekstremal nuqta bo'la olmaydi. Shunday qilib, berilgan funksiya ikkita kritik nuqtaga ega: va. Funksiyaning paritetini hisobga olib, ekstremumning ikkinchi etarli mezoni bo'yicha faqat nuqtani tekshiramiz. Buning uchun biz ikkinchi hosilani topamiz va uning belgisini belgilang: biz olamiz. Chunki va, keyin funksiyaning minimal nuqtasi, while . Funksiya grafigi haqida toʻliqroq tasavvurga ega boʻlish uchun uning taʼrif sohasi chegaralaridagi xatti-harakatlarini bilib olaylik: (bu erda belgi istakni bildiradi x o'ngda nolga, va x ijobiy bo'lib qoladi; xuddi shunday intilishni anglatadi x chap tomonda nolga, va x salbiy bo'lib qoladi). Shunday qilib, agar, keyin. Keyinchalik, biz topamiz , bular. agar, keyin. Funktsiya grafigida o'qlar bilan kesishish nuqtalari yo'q. Rasm misolning boshida. Biz birgalikda funktsiyaning ekstremallarini qidirishni davom ettiramiz 8-misol. Funksiyaning ekstremal qismini toping. Yechim. Funktsiyaning sohasini topamiz. Tengsizlik qanoatlantirilishi kerakligi sababli, biz dan olamiz. Funktsiyaning birinchi hosilasini topamiz: Funktsiyaning kritik nuqtalarini topamiz. Ushbu maqoladan o'quvchi funktsional qiymatning ekstremumi nima ekanligini, shuningdek uni amalda qo'llash xususiyatlari haqida bilib oladi. Bunday kontseptsiyani o'rganish oliy matematikaning asoslarini tushunish uchun juda muhimdir. Ushbu mavzu kursni chuqurroq o'rganish uchun asosiy hisoblanadi. Bilan aloqada Ekstremum nima? Maktab kursida "ekstremum" tushunchasining ko'plab ta'riflari mavjud. Ushbu maqola bu borada ma'lumotga ega bo'lmaganlar uchun atama haqida eng chuqur va aniq tushuncha berishga mo'ljallangan. Shunday qilib, atama funktsional intervalning ma'lum bir to'plamda qanchalik minimal yoki maksimal qiymatga ega bo'lishi tushuniladi. Ekstremum bir vaqtning o'zida funktsiyaning minimal qiymati va maksimaldir. Minimal nuqta va maksimal nuqtani, ya'ni diagrammadagi argumentning ekstremal qiymatlarini ajrating. Ushbu kontseptsiya qo'llaniladigan asosiy fanlar: statistika; mashinani boshqarish; ekonometriya. Ekstremal nuqtalar o'ynaydi muhim rol berilgan funksiyaning ketma-ketligini aniqlashda. Uchastkadagi koordinatalar tizimi eng yaxshi tarzda funksionallikning o'zgarishiga qarab ekstremal holatdagi o'zgarishlarni ko'rsatadi. Hosil ekstrema Bundan tashqari, "hosil" kabi bir hodisa mavjud. Ekstremum nuqtani aniqlash kerak. Minimal yoki maksimal nuqtalarni eng yuqori va eng past qiymatlar bilan aralashtirib yubormaslik kerak. Bular bir-biriga o'xshash bo'lsa-da, turli xil tushunchalar. Funktsiyaning qiymati maksimal nuqtani qanday topishni aniqlashda asosiy omil hisoblanadi. Hosila qiymatlardan hosil bo'lmaydi, faqat u yoki bu tartibdagi ekstremal holatidan hosil bo'ladi. Hosilning o'zi eng yuqori yoki eng past qiymat emas, balki ekstremum nuqtalari ma'lumotlari asosida aniqlanadi. Rus maktablarida bu ikki tushuncha o'rtasidagi chegara aniq belgilanmagan, bu umuman ushbu mavzuni tushunishga ta'sir qiladi. Keling, "o'tkir ekstremum" kabi narsalarni ko'rib chiqaylik. Bugungi kunda keskin minimal qiymat va keskin maksimal qiymat farqlanadi. Ta'rif funktsiyaning kritik nuqtalarining ruscha tasnifiga muvofiq berilgan. Ekstremal nuqta tushunchasi diagrammadagi tanqidiy nuqtalarni topishning markazidir. Bunday tushunchani aniqlash uchun Ferma teoremasidan foydalanish kerak. Bu ekstremal nuqtalarni o'rganishda eng muhimi va ularning u yoki bu shaklda mavjudligi haqida aniq tasavvur beradi. Ekstremallikni ta'minlash uchun grafikda kamaytirish yoki oshirish uchun ma'lum shartlarni yaratish muhimdir. "Maksimal nuqtani qanday topish mumkin" degan savolga aniq javob berish uchun siz quyidagi qoidalarga amal qilishingiz kerak: Diagrammada aniq ta'rif sohasini topish. Funksiyaning hosilasi va ekstremum nuqtasini qidiring. Argument sohasi uchun standart tengsizliklarni yeching. Grafikdagi nuqta qaysi funksiyalarda aniqlangan va uzluksiz ekanligini isbotlay olish. Diqqat! Funktsiyaning kritik nuqtasini izlash faqat ekstremum nuqta mavjudligining yuqori nisbati bilan ta'minlangan kamida ikkinchi tartibli hosila mavjud bo'lganda mumkin. Funksiya ekstremumining zaruriy sharti Ekstremum mavjud bo'lishi uchun minimal va maksimal nuqtalar bo'lishi muhimdir. Agar bu qoida faqat qisman kuzatilsa, u holda ekstremumning mavjudligi sharti buziladi. Har qanday pozitsiyadagi har bir funktsiya o'zining yangi ma'nolarini ochish uchun farqlanishi kerak. Shuni tushunish kerakki, nuqtaning yo'qolishi differensiallanadigan nuqtani topishning asosiy printsipi emas. Keskin ekstremum, shuningdek, funktsiyaning minimumi ekstremal qiymatlardan foydalangan holda matematik masalani echishning o'ta muhim jihati hisoblanadi. Ushbu komponentni yaxshiroq tushunish uchun funksionallikni belgilash uchun jadval qiymatlariga murojaat qilish muhimdir.
funksiya  intervalda differensiallanuvchi bo‘lsin. U holda  funksiya grafigining  ,  nuqtada urinmasi mavjud bo‘ladi.
ta’rif. Agar  intervalning istalgan nuqtasida  funksiya grafigi unga o‘tkazilgan urinmadan yuqorida (pastda) yotsa, funksiya grafigi  intervalda botiq (qavariq) deyiladi.
Funksiya grafigining botiq qismini qavariq qismidan ajratuvchi nuqta funksiya grafigining egilish nuqtasi deb ataladi (14-shakl).