Shryodinger tenglamasi

1. Mikrozarrachaning erkin harakati.

Agar zarracha erkin, unga hech qanday tashqi kuchlar ta'sir etmayotgan bo'lsa, uning potensial energiyasi nol (U=0) bo'lib, to’liq energiyasi uning kinetik energiyasidan iborat bo'ladi. Masalani soddalashtirish uchun zarracha koordinatning x o'qiga parallel holda harakatlanmoqda deb olamiz. Uni z, t koordinatalaridan olingan xususiy hosilalari nol bo'lib, Laplas operatorida bitta had qoladi:

=

Bu holda Shredinger tenglamasi soddalashib, quyidagi ko'rinishni oladi:

 (6.1)

(6.1) ko'rinishdagi differensial tenglamaning xususiy yechimi yassi to’lqin tenglama ko'rinishda bo'ladi:

(x,t)=Asin(t-кх) (6.2)

Bunga ishonch hosil qilish uchun (6.2) ifodani va   ni (6.1) ga qo'yib ko'ramiz.

-к² A sin(t - кх) +  sin(t - кх) = 0

bundan

 (6.3)

ekanini topamiz.   bo'lgani uchun

 (6.4)

kelib chiqadi. Ko'rinib turibdiki, hosil qilingan bu ifoda de-Broyl formulasining o'zginasi. Bu Shredinger tenglamasidan de-Broyl formulasi kelib chiqishini bildirmaydi. Aslida buning teskarisi. Shredinger o'zida de-Broyl to’lqinini mujassamlashtirgan tenglamani izlab topgan.

(6.4) ni boshqacha ko'rinishda ham yozish mumkin

 (6.5)

(6.5) dan ko'rinadiki, erkin zarrachaning energiyasi har qanday qiymatni olishi mumkin ekan. Ya'ni, uning energiya spektri uzuluksizdir. Bu to’lqin soni k ni va zarrachaning impulsi P_x ni uzluksiz holda o'zgarishidan kelib chiqadi.

Shunday qilib, erkin zarracha kvant mexanikasida yassi monoxromatik de-Broyl to’lqini (6.5) bilan ifodalanadi. Bunday zarrachani fazoning har qanday nuqtasida topilish ehtimolligi bir xil va vaqtga bog’liq bo'lmay, amplitudaning kvadratiga teng:

²= ^. ^*=А²

Shredinger tenglamasi erkin zarrachaning energiyasiga hech qanday chegara qo'ymaydi. Ya'ni, uning energiyasi kvantlanmaydi, u har qanday qiymatni olishi mumkin. Agar zarracha bog’langan bo'lsa, uning energiyasi kvantlanishi mumkin. Masalan, atomdagi elektron yadroga bog’langan bo'lgani uchun uning energiyasi uzlukli qiymatlarni oladi, ya'ni kvantlanadi.