Shturum-Liuvill masalasi xos son va xos funksiyalar

1.3.3-xossa (Grin ayniyati). Ixtiyoriy funksiyalar uchun ushbu

ayniyat bajariladi.
Isbot. Quyidagi ayirmani hisoblaymiz:

1.3.4-xossa. Ixtiyoriy funksiyalar uchun ushbu
(1.3.3)
tenglik bajariladi.
Isbot. Grin ayniyatidagi ifodani kerakli ko`rinishda yozamiz. Buning uchun quyidagi sistemani tuzib olamiz:

va undan ushbu

tengliklarni hosil qilamiz. Bularni grin ayniyatiga qo`ysak, (1.3.3) tenglik hosil bo`ladi.
1.3.5-xossa (1.3.1)-(1.32) Shturm–Liuvill masalasining xos qiymatlari haqiqiydir.
Isbot. son (1.3.1)-(1.32) Shturm–Liuvill chegaraviy masalasining xos qiymati bo`lsin deb faraz qilaylik va unga xos keluvchi xos funksiyani bilan belgilaylik. u holda son ham shu chegaraviy masalasining xos qiymati bo`ladi va unga xos funksiya mos keladi. Quyidagi

tenglikdan ekanligi kelib chiqadi. Bu esa farazimizga zid.
1.3.6-xossa (1.3.1)-(1.32) Shturm–Liuvill masalasining turli xos qiymatlariga mos keluvchi xos funksiyalari o`zaro ortoganaldir, ya`ni xos qiymatlarga mos keluvchi xos funksiyalar uchun ushbu
(1.3.4)
tenglik o`rinli bo`ladi.
Isbot. Ushbu

ayniyatda bo`lgani uchun (1.3.4) tenglik o`rinli bo`lishligi kelib chiqadi.
1.3.7-xossa. (1.3.1)-(1.32) Shturm–Liuvill chegaraviy masalasining xos qiymatlari oddiy (karrasiz), ya`ni bitta xos quymatga mos keluvchi xos funksiyalar bir-biriga proporsionaldir.
Isbot. xos qiymatga chiziqli erkli xos funksiyalar mos keladi deb faraz qilaylik. U holda

Bo`lgani uchun, chiziqli bog`liq bo`ladi. Bu esa farazimizga ziddir.
1.3.8-xossa. funksiya Shturm–Liuvill tenglamasining bo`yicha uzluksiz differensiallanuvchi ixtiyoriy yechimi bo`lsin. U holda

tenglik bajariladi. Bu yerda
Isbot. Ushbu
(1.3.5)
ayniyatdan bo`yicha hosila olsak,
(1.3.6)
tenglik kelib chiqadi. (1.3.5) va (1.3.6) tengliklarni mos ravishda funksiyalarga ko`paytirib, bir-biridan ayirsak, ushbu

Ayniyat hosil bo`ladi. Bu tenglikni kesmada integrallasak, ushbu

formula kelib chiqadi.