Shturum-Liuvill masalasi xos son va xos funksiyalar

О‘ZBEKISTON RESPUBLIKASI OLIY VA O’RTA MAXSUS TA’LIMI VAZIRLIGI
FARG’ONA DAVLAT UNIVERSITETI


Magistratura bo’limi Amaliy matematika mutaxassisligi 2-kurs magistranti
Solijonov Behzodbek Alijon o`g`lining
Funksional analiz zamonaviy usullarining hisoblash matematikasiga tatbiqlari fanidan
“Xos sonlar va xos funksiyalar”
mavzusida yozgan
MUSTAQIL ISHI


Farg’ona – 2022
KIRISH
CHEGARAVIY MASALALAR
1.1-§. Chegaraviy masalalarning qo’yilishi.
1.2-§. Differensial operatorning xos qiymatlari va xos funksiyalari
1.3-§. Shturm–Liuvill tenglamasi uchun qo`yilgan Koshi masalasi
XULOSA
FOYDALANILGAN ADABIYoTLAR
CHEGARAVIY MASALALAR

1.1-§. Chegaraviy masalalarning qo`yilishi

Chegaraviy masalalar ˗ berilgan sohada aniqlangan funksiyalarning biror sinfidan bu sohaning chegarasida berilgan shartlarni qanoatlantiruvchi funksiyani topish uchun mo’ljallangan masalalar. Aniq hodisalarni ifodalovchi funksiyalar, odatda, matematik fizika tenglamalarining yechimlaridan iborat bo’ladi. Matematik fizika tenglamalari (differensial, integral, integrodifferensial,funksional tenglamalar) cheksiz ko’p yechimlarga ega. Shuning uchun ham kerakli birdan bir yrchimni aniqlash uchun qo’shimcha chegaraviy shatlar beriladi. Chegaraviy masalalarni tekshirishda integral tenglamalar, oldindan baholashlar, chekli ayirmalar usuli va boshqa usullar keng qo’llaniladi.
Biz birinchi va yuqori tartibli oddiy differensial tenglamalar uchun Koshi masalasi qo’yilishini o’rganganmiz. Endi xuddi shu tenglamalar uchun chegaraviy masalalarning qo’yilishini o’rganamiz. Koshi masalasining geometrik ma’nosi berilgan nuqtadan o’tadigan integral chiziqni izlashdan iborat. Shu interal chiziq yana boshqa shartlarni qanoatlantiradimi yoki yo’qmi, bu bizni qiziqtiradi.
Agar intervalda aniqlangan funksiya differensial tenglamaning ushbu
, , ..., , (1.1.1)
shartni qanoatlantiradigan yechimi bo’lsa, tenglamaning shu yechimi yana
, , ..., , , (1.1.2)
shartni qanoatlantiradimi?, degan savol tug’iladi. Bunda funksiyaning aniqlanish sohasi ochiq to’plamdan iborat bo’lib, , shartlar albatta bajariladi.Aks holda qo’yilgan savolning ma’nosi bo’lmaydi.
Savolga javob berish uchun (1.1.1) shart bilan to’la aniqlangan ma’lum funksiya va uning hosilalarini nuqtada hisoblab, (1.1.2) shartni tekshirish lozim. Savol doim yuqoridagi kabi qo’yilmasligi ham mumkin. Noma’lum funksiya va hosilalarining va nuqtalardagi qiymatlaridan tuzilgan ta munosabat bajarilishini talab etish ham mumkin. Shu munosabat bilan quyidagi masalani qo’yamiz.
Agar ushbu
(1.1.3)
tenglama va
(1.1.4)
munosabatlar berilgan bo’lsa, (1.1.3) tenglamaning shu (1.1.4) munosabatlarni qanoatlantiradigan yechimini izlash chegaraviy masala deyiladi. Bu masala Koshi masalasiga qaraganda umumiy bo’lib, undan bo’lganda Koshi masalasi kelib chiqadi. Agar bo’lib,
(1.1.5)
bo’lsa, ikkinchi tartibli tenglamaning integral chizig’i boshlang’ich va tugal shartni qanoatlantirishi lozim bo’ladi. Yana agar bo’lib
(1.1.6)
bo’lsa, bu ham tez-tez uchraydigan chegaraviy shartidan iborat. Ba’zi hollarda yechim davriyligining chegaraviy sharti deb yuritiladi. Va ( )
(1.1.7)
ko’rinishdagi shart ham uchraydi.