Shturum-Liuvill masalasi xos son va xos funksiyalar

Bir jinsli bo’lmagan chegaraviy masala.
(1.1.10) formulada bo’lsin. Biz bir jinsli bo’lmagan chegaraviy masalani ko’raylik. Bu holda asosiy xossasini quyidagi teorema ifoda etadi.
1.1.1-teorema. Ushbu tenglama bir jinsli bo’lmagan shartni qanoatlantiradigan yagona yechimga ega bo’lishi uchun mos bir jinsli chegaraviy masala faqat trivial yechimga ega bo’lishi zarur va yetarli.
Isbot. Zarurligi. Bir jinsli bo’lmagan chegaraviy masalaning yechimi funksiya bo’lsin. Unda , , ayniyatlar o’rinli bo’ladi. Bir jinsli differensial tenglamaning fundamental sistemasi funksiyalardan iborat bo’lsin. U holda ixtiyoriy yechim

formula bilan yoziladi. O’zgarmas larning biror qiymatida yechim hosil bo’lsin deylik, ya’ni . Bu funksiyani bir jinsli bo’lmagan chegaraviy shartga qo’yamiz. Sodda o’zgarishlar natijasida quyidagini hosil qilamiz:

Demak, ushbu
(1.1.11)
sistemaga egamiz. Bu sistemaning determinanti ((1.1.5 )ga qarang), chunki , . Ammo bo’lganda mos bir jinsli chegaraviy masala 1.1.1-teoremaga ko’ra faqat trivial yechimga ega bo’ladi.
Yetarliligi. Bir jinsli chegaraviy masala faqat trivial yechimga ega bo’lsin. U holda bo’ladi. Demak (1.1.11) ga ko’ra bir jinsli bo’lmagan chegaraviy masala yagona trivialmas yechimga ega, chunki (1.1.11) da tengsizlikni qanoatlantiradigan o’zgarmaslar bir qiymatli topiladi. Teorema to’la isbot bo’ldi.
1.1.2-teorema. Bizga bir jinsli bo’lmagan chegaraviy masala berilgan bo’lsin. oraliqda uzluksiz bo’lgan va bir jinsli bo’lmagan chegaraviy shartni qanoatlantiradigan ixtiyoriy funksiyani deylik. U holda, agar , masala faqat trivial yechimga ega bo’lsa, u holda masala yechimga ega va bu yechim ushbu
(1.1.11’)
(bunda ) formula bilan beriladi. Agar , ( ) munosabatlar o’rinli bo’lsa, u holda va (1.1.11) masalaning yechimi
(1.1.11’’)
ko’rinishda yoziladi.