Shturum-Liuvill masalasi xos son va xos funksiyalar

1.2-§. Differensial operatorning xos qiymatlari va xos funksiyalari

Bir jinsli chiziqli tenglama uchun xos qiymat va xos funksiya tushunchasi.
1.1.3-ta’rif. Agar shunday funksiya topilsaki, bu funksiya uchun ushbu
, (1.1.3)
ayniyat o’rinli bo’lsa, u holda son operatorning xos qiymati, funksiyaning o’zi operatorning xos funksiyasi deyiladi.
Ushbu bir jinsli chegaraviy masalani, ya’ni
, , (1.2.2)
masalani ko’raylik. Shu masalaning trivialmas yechimlariga mos kelgan ning operatorning xos qiymatlari, tegishli trivialmas yechimlar esa xos funksiyalari deyiladi.
Agar va , funksiyalar ning bitta qiymatiga mos kelgan trivialmas yechim, ya’ni xos funksiyalar bo’lsa, u holda bu funksiyalarning chiziqli kombinatsiyasi ham ga mos kelgan xos funksiya bo’ladi. Haqiqatan, agar
, ,
ayniyat o’rinli bo’lsa, undan

kelib chiqadi. Ammo bir jinsli tenglama chiziqli erkli yechimlari ta ( - tenglamaning tartibi) bo’lgani uchun ushbu
,
ayniyat ning tengsizlikni qanoatlantiradigan qiymatlari uchun to’g’ri bo’ladi. Agar bo’lsa, chiziqli bir jinsli tanglamaning ixtiyoriu ta, demak ta ( ) yechimi chiziqli bog’liq bo’lgani uchun , ayniyatga kelamiz. Bundan olingan songa trivial yechim mos kelishi chiqadi. Bu esa xos qiymat va xos funksiya ta’rifiga zid.
1.1.1-teoremaga ko’ra, (1.2.2) masala trivialmas yechimga ega bo’lishi uchun ushbu
(1.2.3)
((1.1.10)ga qarang) determinant nolga teng bo’lishi zarur va yetarli. Bunda funksiya ga nisbatan butun analitik funksiya bo’lib, u operatorning xarakteristik determinanti deyiladi. Bu o’rinda tushunarli bo’lishi uchun (1.1.3) tenglamaning
(1.2.4)
(bunda ) boshlang’ich shartlarni qanoatlantiruvchi fundamental sistemasini
, ,…, (1.2.5)
deb belgilaylik. U holda intervaldan olingan har bir tayin (muayyan) qaiymatlarida (1.2.5) funksiyalar ning butun analitik funksiyalari bo’ladi. Shu sababli ham analitik funksiya bo’ladi.
Yuqoridagi fikrlar va murakkab bo’lmagan mulohazalar yordamida teoremaning o’rinli ekaniga ishonch hosil qilish mumkin.
1.1.3-teorema. 1) funksiyaning nollari operatorning xos qiymatlaridan iborat; 2) agar funksiya aynan holga teng bo’lmasa, u holda operatorning xos qiymatlari sanoqli to’plam bo’lib, ular chekli limit nuqtaga ega bo’la olmaydi.
Aytib o’tamiz, agar funksiyanaing noli bo’lmasa, u holda operatorning xos qiymatlariga ega bo’la olmaydi. Ammo xos qiymat ning karrali noli bo’lishi mumkin.
Agar son funksiyaning oddiy noli bo’lsa, bu son operatorning oddiy xos qiymati deyiladi.
Bir jinsli bo’lmagan chiziqli tenglama uchun xos qiymat va xos funksiya tushunchasi. Ushbu
(1.2.6)
masalani qaraylik, bunda - biror parametr, funksiya operator koeffitsiyentlarining aniqlanish intervalida aniqlangan va uzluksiz. Bu masala uchun xos qiymat va xos funksiya tushunchasi tegishli (1.2.2) masala uchun kiritilgan tushunchaning o’zginasi bo’ladi. Bu holda asosiy natija quyidagi teorema bilan ifodalanadi.
1.2.2-teorema. ning xos qiymatlardan farq qiladigan barcha qiymatlari uchun ixtiyoriy uzluksiz bo’lganda (1.2.6) masala yechimga ega.