Shturum-Liuvill masalasi xos son va xos funksiyalar

Bir jinsli chegaraviy masala. Chegaraviy masala yechimining mavjudligi va yagonaligi muhim rol o’ynaydi. Bu mavzuga tegishli ba’zi ma’lumotlarni bayon etish uchun (1.1.4) munosabatlarda funksiyalar o’z argumentlariga nisbatan chiziqli shakldan iborat bo’lgan holni qaraymiz. Aniqrog’i funksiyalar quyidagi
(1.1.8)
(bunda - o’zgarmas) ko’rinishda bo’lsin. Agar ( ) bo’lsa, qo’yilgan masala bir jinsli chegaraviy masala deyiladi. Agar bo’lsa, u bir jinsli bo’lmagan masala bo’ladi.
tartibli chiziqli bir jinsli
(*)
tenglama (1.1.6) chegaraviy shartlardan berilgan bo’lsin, (*) va (1.1.8) munosabatlarni bo’lganda qanoatlantiradigan funksiyani topish masalasi (*) tenglama uchun bir jinsli chegaraviy masala deyiladi.
Ravshanki, har bir bir jinsli chegaraviy masala kamida bitta trivial yechimga, ya’ni , yechimga ega. Ammo bir jinsli chegaraviy masala trivial bo’lmagan yechimlarga ham ega bo’lishi mumkin.
1.1.1-ta’rif. Ushbu
, , (1.1.9)
chegaraviy masala uchun Grin funksiyasi deb, shunday funksiyaga aytiladiki, u funksiya yopiq sohada aniqlangan bo’lib, oraliqdan har bir uchun ning funksiyasi sifatida quyidagi shartlarni qanoatlantiradi:
. funksiya va bo’yicha oraliqda uzluksiz, bo’yicha -tartibgacha uzluksiz differensiallanuvchi;
. dan olingan ixtiyoriy tayinlangan uchun funksiya bo’yicha va oraliqlarning har birida - va tartibli hosilalarga ham ega, ammo - tartibli hosilasi nuqtada chekli uzilishga ega, ya’ni:
(1.1.10)
. va intervallarning har birda ning funksiyasi sifatida funksiya (1.1.9) munosabatlarni qanoatlantiradi, ya’ni , , .