Shu usulda tuzilgan kvadratur formulalar interpolyatsion

Shu usulda tuzilgan kvadratur formulalar interpolyatsion formulalar deyiladi.
2. Analizdan va 6-bobdan ma'lumki, chekli oraliqda uzluksiz funksiyalarni algebraik ko‘phadlar bilan yetarlicha yuqori aniqlikda yaqinlashtirish mumkin (Veyershtrass teoremasi). Shu bilan birga, ko‘phad darajasi qancha yuqori bo‘lsa, aniqlik ham shuncha yuqori bo‘ladi. Shuning uchun ham (1.3) formulada va parametrlarni shunday tanlashga harakat qilinadiki, bu tenglik yetarlicha yukori darajali algebraik ko‘phadlar uchun aniq bo‘lsin. Shu usul bilan tuzilgan (1.3) formula [a, b] oraliqda uzluksiz bo‘lgan ko‘p funksiyalarni integrallashda aniqlik jihatidan yaxshi natija beradi. Odatda, (1.3) formula barcha darajali ko‘phadlar uchun aniq bo‘lib, f(x)= uchun aniq bo‘lmasa, u holda uning al- gebraik aniqlik darajasi t ga teng deyiladi.
Faraz qilaylik, f(x) funksiya davriy funksiya bo‘lib, uning davri 2 ga teng bo‘lsin, va integralni hisoblash talab qilinsin. U holda (1.3) formulada , parametrlarni shunday tanlashga harakat qilinadiki, u imkon boricha yuqori tartibli trigonometrik ko‘phadlarni aniq integrallasin.
Aniqlik darajasi (tartibi) eng yuqori bo‘lgan kvadratur formulalar katta ahamiyatga ega. Bunday formulalar Gauss tipidagi kvadratur formulalar deyiladi.
3. Kvadratur formulalar tuzishda elliginchi yillarning oxirilaridan boshlab yangi bir yo‘nalish rivojlana boshladi. Uning mohiyati quyidagidan iborat. Bizga f(x) funksiyalarning biror sinfi F berilgan bo‘lsin. Butun F sinf uchun aniqlikni tavsif- laydigan mikdor sifatida quyidagi aniq yuqori chegara

olinadi. Bu yerda [a, b] da tugunlarni va koeffisientlarni shunday tanlash talab qilinadiki, o‘zining eng kichik qiymatiga erishsin. Bunday formulalar, tabiiy ravishda, funksiyalarning F sinfida eng kichik xatoga ega bo‘lgan formulalar deyiladi.
Masalani boshqacha tarzda ham qo‘yish mumkin; ya'ni yoki larga nisbatan ayrim shartlar bilan, masalan, koeffisientlarining o‘zaro teng bo‘lishligi yoki tugunlarning bir xil uzoqlikda joylashgan bo‘lishligi kabi va h.k.
Koeffisientlari yoki tugunlari mana shu shartlarni qanoatlantirgan holda (1.3) formulani shunday tuzish talab qilinadiki, koldik F funksiyalar sinfida eng kichik bo‘lsin.
Paragrafni yakunlashdan oldin umumiy bir mulohazani aytib o‘tamiz. Integrallarni (1.3) formula yordamida hisoblashda, kvadratur yig‘indi umuman takribiy ravishda hisoblanadi. Odatda f( )o‘rnida biror ga ega bo‘lamiz, demak
f( )= +
bu yerda yaxlitlash xatosi. Faraz qilaylik, barcha k = 1,2,…,n uchun bo‘lsin. Agar ko‘paytmalarning yig‘indisi aniq hisoblansa, u holda kvadratur yig‘indini hisoblashda yaxlitlash xatosi dan ortmaydi, xususan teng bulishi ham mumkin. Bundan turibdiki, qancha katta bo‘lsa, kvadratur yig‘indini hisoblashda hosil bo‘lgan yaxlitlash xatosi shuncha katta bo‘ladi.
Faraz qilaylik, (1.3) formula f(x) = 1 ni aniq integrallansin, ya'ni,

Bundan, ravshanki eng kichik qiymatni qabul qilishi uchun barcha k = lar uchun > 0 bo‘lishi kerak. Bu esa musbat koeffisientli kvadratur formulalar katta ahamiyatga ega ekanligini ko‘rsatadi.

2-§. INTERPOLYATSION KVADRATUR
FORMULALAR
1. Eng sodda kvadratur formulalar: to‘g‘ri to‘rtburchak, trapesiya va Simpson formulalari. Eng sodda kvadratur formulalarni oddiy mulohazalar asosida qurish mumkin. Aytaylik,

integralni xisoblash talab qilinsin. Agar qaralayotgan oraliqda f(x) const bo‘lsa, u vaqtda


23-chizma 24-chizma
deb olishimiz mumkin (23-chizma). Bu formula to‘g‘ri to‘rtburchaklar formulasi deyiladi.
Faraz qilaylik, f (x) funksiya chiziqli funksiyaga yaqin bo‘lsin, u xolda tabiiy ravishda integralni balandligi b-a ga va asoslari f (a) va f (b) ga teng bo‘lgan trapesiya yuzi bilan almashtirish mumkin (24-chizma), u holda

a deb olishimiz mumkin. Bu formula trapesiya formulasi deyiladi. Nihoyat, f(x) funksiya [a, b] oralikda kvadratik funksiyaga yaqin bo‘lsin, u holda ni taqribiy ravishda Ox o‘qi va x = a, x = b to‘g‘ri chiziqlar hamda y=f(x) funksiya grafigining abssissalari x = a, va x=b bo`lgan nuqtalaridan o‘tuvchi ikkinchi tartibli parobola orqali chegaralangan yuza bilan al- mashtirish mumkin (25-chizma), u holda quyidagiga ega bo‘lamiz:


25-chizma 26-chizma
Bu formulani ingliz matematigi Simpson 1743 yilda taklif etgan edi. Bu formulaning hosil qilinishi usulidan ko‘rinib turibdiki, u barcha ikkinchi darajali

ko‘phadlar uchun aniq formuladir. Shunday qilib, biz uchta eng sodda kvadratur formulalarga ega bo‘ldik. (2.1) formulani tuzishda u o‘zgarmas son ni aniq integrallashini talab qilgan edik. Lekin chiziqli funksiyani ham aniq integrallaydi, chunki balandligi b-a va o‘rta chizig‘i ) bo‘lgan ixtiyoriy trapesiyaning yuziga teng (26-chizma).
Shunga o‘xshash Simpson formulasi ham biz kutgandan ko‘ra ham yaxshirok formuladir. U uchinchi darajali

ko‘phadlarni ham aniq integrallaydi.
Haqiqatan ham, uchinchi darajali ko‘phadni quyidagicha yozamiz:

u vaktda

Lekin bizga ma'lumki,

Ikkinchi tomondan,

ayniyat o‘rinlidir. Endi (2.5) - (2.6) ni (2.4) ga qo‘yib,

ni hosil qilamiz.
Shunday qilib, biz uchta kvadratur formulani ko‘rdik. Ulardan ikkitasi to‘g‘ri to‘rtburchak va trapesiya formulalari birinchi darajali ko‘phad uchun aniq formula bo‘lib, Simpson formulasi uchunchi darajali ko‘phad uchun aniq formuladir.