Siklik gruppa tushunchasi

Normal bo`luvchi . Faktor gruppa
Tarif. gruppaning istalgan elementi bilan o`rin almashinuvchi qism gruppasi ning normal bo`luvchisi (invariant qism gruppasi) deyiladi.
Demak, tarifga ko`ra . Masalan, simmetrik gruppaning

Qism gruppasi da normal bo`luvchidir. Bunga ishonch hosil qilish maqsadida istalgan bilan o`rinalmashinuvchi ekanligini tekshirib ko`ramiz: uchun ekanligidan qism gruppa o`zining har bir elementi bilan o`rinalmashinuvchidir. Demak, ni ing qolgan uchta elementi bilan o`rin almashinuvchi ekanini tekshirib ko`rish lozim;
= uchun
va =
dir. Demak,
va uchun va ni tekshirib ko`rish kitobxonga tavsiya etiladi.
Kommutativ gruppaning har bir qism gruppasi normal bo`luvchi bo`ladi.
Endi gruppani normal bo`luvchi bo`yicha qo`shni sistemalarga yoyamiz :
(1)
Elementlari (1) qo`shni sistemalardan iborat

to`plamni qaraymiz.
Teorema. to`plam sistemalarni ko`paytirishga nisbatan gruppa tashkil etadi.
Isboti. Gruppa tarifidagi to`rtta aksioma bajarilishini ko`rsatamiz.
1. va bir qiymatli . Xaqiqatdan, kelib chiqadi ; bo`lgani uchun (1) sistemalar orasida sistema albatta bor; ko`paytmalarning bir qiymatliligi shundan malumki, (1) dagi barcha sistemalar har xil.
2. . = chunki sistemalrni ko`paytirish assotsiativ ekanini bilamiz.
3. . to`plamda sistema birlik element bo`lib xizmat qiladi, chunki .
4. . , yani ning har bir elementiga da teskari mavjud. Xaqiqatdan, bo`lganligi sababli (1) sistemalar orasida ) sistema albatta bor bo`lib,
dir.
Bu gruppa faktor gruppa deyiladi. gruppa chekli va tartibli , normal bo`luvchi esa tartibli bo`lsa,
yoyilmadan ko`ringanidek, faktor gruppaning tartibi bo`ladi.
Masalan, simmetrik gruppani

Normal bo`luvchi bo`yicha yoysak
=
xosil bo`ladi , bunda = . demak, faktor gruppa
ko`rinishga ega . bu yerda ning tartibi 6 ga , ning tartibi 3 ga teng bo`lganidan, ning tartibi ekanini ko`ramiz.