Система аксиом множества действительных чисел

Лемма о вложенных отрезках (принцип Коши — Кантора)[править | править вики-текст]
Основная статья: Лемма о вложенных отрезках
Лемма о вложенных отрезках (Коши — Кантор). Всякая система вложенных отрезков

имеет непустое пересечение, то есть существует по крайней мере одно число, принадлежащее всем отрезкам данной системы.
Если, кроме того, длина отрезков данной системы стремится к нулю, то есть

то пересечение отрезков данной системы состоит из одной точки.
Это свойство называют непрерывностью множества действительных чисел в смысле Кантора. Ниже будет показано, что для архимедовыхупорядоченных полей непрерывность по Кантору эквивалентна непрерывности по Дедекинду.