Система нестандартных задач, приемы и методы решения

Раздел объединяет задачи, которые сводятся к решению уравнений. 
Десятичная запись натурального числа. Как известно, десятичной записью 
натурального числа называется его представление в виде суммы, разложенной 
по степеням числа 10: х = а
п
10
n
 + а
п-1 
10
n-1
 + ... + а
1
10 + а
о
, где а
п
# 0. В основе 
решений, найденных с помощью десятичной записи, лежит идея алгебраизации; 
часто представление числа в виде разложения по степеням числа 10 позволяет 
свести задачу к решению алгебраического уравнения (иногда неопределенного 
уравнения). Имеется ряд задач, при решении которых применяются другие 
приемы. На основе алгебраизации записи числа решается достаточно широкий 
класс задач: числовые ребусы, задачи на доказательство, задачи на отгадывание 
чисел. При составлении задач на отгадывание чисел выбирается такая 
последовательность операций, что в результате получается или само число, или 
задуманное число можно получить, проделав простые операции.

---

Уравнения в целых числах. Задачи, предлагаемые в этой серии, сводятся к 
решению в натуральных числах уравнения с двумя неизвестными. В самом 
простом случае уравнения решаются перебором всех возможных вариантов. 
Организовать перебор удобнее всего, используя правило «крайнего». Но 
решение в целых числах алгебраических уравнений с целыми коэффициентами 
с двумя неизвестными — достаточно трудная задача. Сократить перебор в 
предлагаемых задачах можно двумя способами: выяснить ограничения, 
которые накладываются на неизвестные и перебрать предполагаемые значения 
того неизвестного, где «претендентов» меньше; сократить перебор можно, 
используя одно из основных свойств делимости целых чисел: если каждое из 
целых чисел а
1
, а
2
, ... , а
п-1
, а
п 
делится на b, то при любых целых с
1
, с
2
, ... , с
п
 
число (с
1
а
1
 + с
2
а
2
 + ... + с
п
а
п
) делится на b. По отношению к целочисленному 
решению уравнения xa + yb = c, свойство можно применить следующим 
образом: число yb должно делиться на НОД (xa, c) или число xa должно 
делиться на НОД (yb, c). 
Деление с остатком. Разделить число а на число b (b > 0) с остатком — 
значит представить число а в виде а = bq + r, 0 < r < b. Число q при этом 
называется неполным частным, а число r - остатком от деления на b. В основе 
решения серии задач лежит представление числа в виде a = bq + r. В 
дальнейшем решение задания может быть сведено к решению уравнения, 
системы уравнений. Иногда такая запись нужна для того, чтобы «увидеть», что 
произойдет с числом, если отбросить остаток. 
Признаки делимости. Ученикам 5—6 классов знакомы признаки 
делимости на 2, 3, 5, 9, 10. При решении задач полезно их вывести, а кроме 
того, доказать признак делимости на 4, 11 и на составные числа. Рассмотреть и 
другие признаки делимости, признак делимости на 7, 13 и другие. 
Метод соответствия.