Скалярным произведением двух векторов и называется число

Задача 2. При каких значениях α и β вектор перпендикулярен вектору , если ?
Решение. Так как , то по формуле длины (модуля) вектора =3;
( ) ² = 3 ², Находим β ² =9 -4 -1 откуда β = ±2.
Векторы и перпендикулярны, тогда, когда ,
при и произведение должно быть равным нулю
3·2 + (-1)·β +α·1 = 0; откуда α= β - 6.
1) при β = 2, имеем α = 2 - 6 = -4;
2) при β = -2, имеем α = -2 - 6 = -8.
Ответ: 1) (3; -1; -4) и (2; 2; 1) взаимно перпендикулярны.
Проверка: = 3*2 -1*2 -4*1 =0
2) (3; -1; -8) и (2; -2; 1) взаимно перпендикулярны.
Проверка 3*2- 1*(-2) - 8*1 =0
Задача 3. Коммерческий банк, участвующий в строительстве
многоэтажных автомобильных стоянок в Калининграде, предпринял
усилия для получения кредитов в трех коммерческий банках: «ВТБ»,
«Альфа-банк», «Сбербанк». Каждый из них предоставил кредиты
в размерах соответственно 20, 30 и 40 млрд. руб. под годовую ставку
40, 25 и 30 %.

Решение. В данном примере речь идет о двух векторах:

трехмерном векторе кредитов (20; 30; 40)
и векторе процентных ставок (40; 25; 30).

Используя простой расчет, управляющий коммерческим банком

может определить, сколько придется платить по истечении года на
кредиты, взятые у трех банков, применяя скалярное произведение.
В конце года банку ВТБ придется вернуть 20 млрд. руб и еще и 40% от этой суммы (20 + 20* 0,4 =20(1 + 0,4) = 20 *1,4= 28).
Аналогично и другим банкам.
Вектор заменяем на вектор (1,40; 1, 25; 1,30).
Выплатить по кредиту надо:
=20 *1, 40 + 30 *1,25 + 40 *1,30 = 28 +37,5 + 52 =117, 5 млрд. р