Скалярным произведением двух векторов и называется число

Векторная алгебра Часть 3
Скалярное произведение векторов.

24. Скалярным произведением двух векторов и называется число, равное произведению модулей этих векторов на косинус угла между ними.

Скалярное произведение векторов и обозначается символом . Если обозначить угол между векторами и через , для скалярного произведения будем иметь
=
25. Пусть даны векторы и в пространстве с координатами
Скалярное произведение векторов в пространстве и в координатной форме равно сумме произведений их соответствующих координат

26. Угол φ между векторами и определяется по формуле:

В знаменателе дроби стоит произведение длин векторов и , а в числителе дроби - скалярное произведение этих векторов.

27. Скалярное произведение векторов на плоскости
(х₁; у₁) и (х₂; у₂) в координатной форме равно сумме произведений их соответствующих координат

28. Из формулы = можно выразить скалярное произведение двух векторов и иначе - это произведение модуля одного из них на проекцию второго на направление первого вектора (см. рисунок):

откуда .

29. Скалярное произведение двух перпендикулярных векторов равно нулю, так как в этом случае .
30. Скалярное произведение имеет свойства, аналогичные свойствам произведений чисел:
Свойства:

1. 
   (переместительное свойство);
   
2. 
   (α ) = α( ) (сочетательное свойство относительно числового множителя α);
   

3. 
   ( + ) = + (распределительное свойство относительно суммы векторов);
   
4. 
   > 0, если - ненулевой вектор, и = 0, если - нулевой вектор.
   
5. 
   Скалярный квадрат вектора .
   
6. 
   Необходимым и достаточным условием ортогональности двух ненулевых векторов является равенство нулю их скалярного произведения.
   

Достаточность:
Пусть вектора и ортогональны, φ - угол между ними равен 90 градусов. Тогда cos φ = 0 и в силу определения скалярное произведение равно 0.
Необходимость:
Так как и ненулевые вектора, то тогда из равенства = 0 и из определения следует, что cos φ = 0, т. е. векторы и ортогональны, т.к. угол между векторами должен в этом случае равняться 90⁰.

31. Если векторы и заданы проекциями на координатные оси

, то их скалярное произведение вычисляется по формуле

а косинус угла между этими векторами определяется по формуле

Если векторы и перпендикулярны (ортогональны), то их скалярное произведение равно нулю, и тогда
a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = 0
или
32. Если углы, образуемые вектором с координатными осями, обозначить через , а углы, образуемые вектором с координатными осями, - через , то косинус угла между векторами и определяется по формуле


Задача 1. Даны два вектора и . Найти скалярное произведение этих векторов.
Решение: (2; 3; -4) и (-3; 2; 5), = 2*(-3) + 3* 2 — 4*5= -20