Случайные события. Случайные величины

Случайные величины. Случайное событие может заключаться в том, что какой-то параметр будет иметь определенную величину, определенное численное значение. Такие величины, значения которых зависят от случая, называются случайными величинами.
Например, случайное событие может заключаться в том, что определенная молекула обладает данной скоростью.
Действительно, скорость молекулы в газе изменяется в зависимости от столкновений с теми или другими молекулами газа или со стенкой. Для каждой молекулы такие столкновения являются случайными. Поскольку при этих случайных столкновениях скорость также будет изменяться случайно, то она будет случайной величиной.
Значения, которые может принимать случайная величина, могут иметь дискретный или непрерывный спектр (если случайная величина принимает только определенные значения или любые в некотором интервале). Например, момент количества движения электрона в атоме может принимать только дискретные значения, а скорость молекулы газа или плотность вещества могут принимать бесчисленное множество различных значений от нуля и практически до бесконечности.
Некоторые физические величины, будучи случайными, могут иметь как непрерывный, так и дискретной спектр значений. Например, энергия электрона в атоме может принимать только дискретные значения, а энергия того же электрона в свободном состоянии может принимать любые значения, т. е. изменяться непрерывно.
Статистические теории в основном рассматривают не сами случайные события, а соответствующие им случайные величины. Нужно помнить, что если  некоторая случайная величина, то любая функция  также будет случайной величиной. Например, если скорость молекулы является случайной величиной, то случайной величиной будет и ее кинетическая энергия. Знание закономерностей между случайными событиями позволяет получить определенные сведения о поведении или значениях тех или иных случайных физических величин.
Чтобы полностью охарактеризовать ту или другую случайную величину, необходимо знать перечень всех возможных значений этой случайной величины и вероятность каждого из этих значений.
Говорят, что задать все значения случайной величины вместе с их вероятностями, значит задать закон распределения или просто распределение этой случайной величины.
Оказывается, что целый ряд практических задач можно решить с помощью немногих характеристик распределения, а знание точной функции распределения случайной величины оказывается необязательным. К таким определяющим характеристикам случайной величины относятся, например, ее среднее и среднее квадратичное значения, а также среднее квадратичное отклонение.
Находить средние значения случайных величин можно из опыта, а также зная функции распределения случайных величин. Рассмотрим, как находить эти средние значения в различных случаях.
Пусть случайная величина  может принимать: значения  с вероятностью  или это значение выпадает  раз из 
значение  с вероятностью  или это значение выпадает раз из  наконец,
значение с вероятностью  или это значение выпадает  раз из 
Тогда сумма значений случайной величины при  испытаниях будет:

Чтобы найти среднее значение случайной величины  т. е. значение, приходящееся на одно испытание, нужно сумму разделить на полное число испытаний:

Если мы имеем некоторую среднюю величину  найденную по формуле (2.11), то, вообще говоря, при различных значениях полного числа испытаний  значения средней величины  также будут различными, так как рассматриваемые величины носят случайный характер. Однако при увеличении числа  среднее значение данной величины будет стремиться к определенному пределу а. И чем больше будет число испытаний, тем ближе  определенное по формуле (2.11), будет приближаться к этому предельному значению:

Последнее равенство представляет собой так называемый закон больших чисел или теорему Чебышева: среднее значение случайной величины будет стремиться к постоянному числу при очень большом числе измерений.
Итак, среднее значение случайной величины равна сумме произведений случайной величины на вероятность ее появления.
Если случайная величина  меняется непрерывно, то ее среднее значение можно найти с помощью интегрирования:

Средние величины обладают рядом важных свойств:
1) среднее значение постоянной величины  равно самой постоянной величине  т. е. 
2) среднее значение некоторой случайной величины  есть величина постоянная, т. е. 
3) среднее значение суммы нескольких случайных величин равно сумме средних значений этих величин, т. е.

4) среднее значение произведения двух взаимно независимых случайных величин равно произведению средних значений каждой из них, т. е. 
Распространяя это правило на большее число независимых величин, имеем:

Иногда по тем или иным причинам знание среднего значения случайной величины оказывается недостаточным. В таких случаях ищется не просто среднее значение случайной величины, а среднее значение квадрата этой величины (квадратичное). При этом имеют место аналогичные формулы:

для дискретных значений и 

в случае непрерывного изменения случайной величины.
Среднее квадратичное значение случайной величины  оказывается всегда положительным и не обращается в нуль.
Часто приходится интересоваться не только средними значениями самой случайной величины, но и с редними значениями некоторых функций от случайной величины.
Например, имея распределение молекул по скоростям, мы можем найти среднюю скорость. Но также нас может интересовать средняя кинетическая энергия теплового движения, являющаяся квадратичной функцией скорости. В таких случаях можно воспользоваться следующими общими формулами, определяющими среднее значение произвольной функции  случайной величины  для случая дискретного распределения

для случая непрерывного распределения

Для нахождения средних значений случайной величины или функции от случайной величины с помощью ненормированной функции распределения пользуются формулами:

Здесь везде интегрирование производится по всей области возможных значений случайной величины