Sonli qatorlar. Sonli qatorlar tushunchasi

Sonli qatorlar.

 1.Sonli qatorlar tushunchasi

(1)ifodaga sonli qator deyiladi. Bu yerda,a1, a2,…, an,… haqiqiy sonlar bo‘lib, qator-ning hadlari, an – had qatorning n – chi hadi yoki umumiy hadi deb ataladi. Har bir (1)sonli qator uchunqismiy yig‘indilar ketma- ketligini qurishmumkin. Sonli qator uchun qismiy yig‘indilar ketma –ketlig. Agar (1) qatorning qismiy yig‘indilari ketma-ketligi chekli S limitga ega bo‘lsa, bu songa  qatorning yig‘indisi deb ataladi: (2) Agar qator (2) chekli limitga ega bo‘lsa, qa-tor yaqinlashuvchi, S esa uning yig‘indisideyiladi.Misol. Yuqorida keltirilgan misol uchun:Demak, berilgan sonli qator chekli limitga ega ekan. Qator yaqinlashuvchi. Agarbo‘lsa yoki mavjud bo‘lmasa, qator uzoqla-shuvchi deb ataladi. songa qatorning qoldig‘i deyiladi. Yaqinlashuvchi sonli qator uchun bo’ladi va demak, yetarlicha katta n lar uchun S≈Sn o‘rinli bo‘ladi. Misollar:sonli qatorqa garmonik qator deyiladi va u uzoqlashuvchi qatordir.2) Ushbu sonli qator |q|<1bo‘lsa, yaqinlashuvchi va yig‘indisiga teng bo‘ladi.

 2.Yaqinlashuvchi sonli qatorlarning asosiy xossalari

10. Agar qator yaqinlashuvchi bo‘lsa, u holda istalgan chekli sondagi hadlarini tashlab yuborish yoki unga chekli sondagi hadlarni qo‘shish natijasida hosil bo‘lgan qator ham yaqinlashuvchi bo‘ladi.20. Yaqinlashuvchi sonli qatorning har bir hadi, bir xil λ soniga ko‘paytirilsa, yaqinlashuvchi bo‘ladi yig‘indisi λ oshadi, ya‘ni

 3. Agar va qatorlar yaqinlashuvchi

bo‘lib, yig‘indilari mos ravishda A va B gateng bo‘lsa, u holda sonli qatorham yaqinlashuvchi bo‘lib, yig‘indisi A±B gateng.40. (Yaqinlashuvchanlikning zaruriy alomati)Agar sonli qator yaqinlashuvchi bo‘lsa,uning umumiy hadi uchunshart bajariladi. Lekin bu alomat yetarli alo-mat bo‘la olmaydi . Agar bo‘lsa, u holda berilgan sonli qator uzoqlashuvchi bo‘ladi.

 Musbat hadli sonli qator

 Musbat hadli sonli qatorlar yaqinla-shishining alomatlari
Musbat hadli sonli qatorlar uchun quyidagi yaqinlashish va uzoqlashish alomatlarini keltiramiz.1) Taqqoslash alomati. Nomanfiy hadli ikki(3)(4)sonli qatorlar uchun, biror N nomerdanboshlab an≤bn tengsizlik bajarilsa, u

 holda:a) (4) qatorning yaqinlashishidan (3) qa-torning ham yaqinlashishi; (3) qatorninguzoqlashishidan (4) qatorning ham uzoq-lashishi kelib chiqadi.b) Musbat hadli (3) va (4) sonli qatorlar-ning umumiy hadlari uchunmavjud va 0

Misol. qatorni yaqinlashishga tekshiring.
Berilgan qatorni uzoqlashuvchi garmonikqator bilan taqqoslaymiz. Buninguchun va kє(0;+∞) ekanligi-ni aniqlaymiz. Bundan berilgan qator uzoqla-shuvchiligi kelib chiqadi.2) Koshi alomati. Agar nomanfiy hadli (3)qator uchun mavjud bo‘lsa,bu qator k<1 bo‘lganda yaqinlashadi, k>1da esa uzoqlashadi va k = 1 da masala ochiq qoladi.3) Dalamber alomati. Agar musbat hadli (3)qator uchun mavjud bo‘lsa, uholda bu qator: k<1 da uzoqlashadi, k>1bo‘lganda uzoqlashuvchi va k=1 da masalaochiqligicha qoladi.4) Koshining integral alomati. Agar (3) sonliqator x≥1 bo‘lganida aniqlangan, uzluksiz,musbat va o‘smaydigan an = f(n), n=1,2,……funktsiya uchun mos tengliklar o‘rinli bo‘lsa,u holda – tur xosmas yaqinlash-sa, berilgan qator ham yaqinlashadi, xosmas
integral uzoqlashsa, sonli qator ham uzoqlashadi.

Sonli qatorlarning absolyut va shartli yaqinlashishi
Aytaylik, hadlari ishorasi o‘zgaruvchi sonliqator (5) berilgan bo‘lsin. (5)sonli qator hadlarining absolyut qiymatlari-dan yangi sonli qator (6)tuzamiz. Agar (6) qator yaqinlashuvchi bo‘l-sa, u holda (5) sonli qator absolyut yaqin-lashuvchi qator deyiladi.Agar (6) qator uzoqlashuvchi bo‘lib, (5) qatorning o‘zi yaqinlashuvchi bo‘lsa, u holda(5) sonli qator shartli yaqinlashuvchi qatordeyiladi. Absolyut yaqinlashuvchi sonliqator har doim yaqinlashuvchi bo‘ladi.Ushbu (7)sonli qatorga hadlari ishorasi almashi-nuvchi qator deb ataladi. Bunday qatorlarni tekshirish uchun Leybnits teoremasidanfoydalaniladi.Leybnits teoremasi. Agar ishoralari almashialmashinuvchi (7) qatorning hadlari uchun o‘rinli bo‘lsa, berilgan sonli qator yaqinlashuvchi bo‘ladi va uning yig‘indisi musbatbo‘lib, birinchi haddan katta bo‘lmaydi. Ishorasi almashinuvchi qator qoldig‘i |rn|≤cn+1tengsizlik bilan baholanadi.Absolyut va shartli yaqinlashuvchi qatorlarningxossalari;

Absolyut yaqinlashuvchi qatorda o‘rinlarini almashtirishdan tuzilgan yangi qator

ham yaqinlashuvchi bo‘ladi va yig‘indisi be-rilgan qator yig‘indisi bilan bir xil bo‘ladi.2. Shartli yaqinlashuvchi qatorda, B soniixtiyoriy son bo‘lishidan qat‘iy nazar, had-lari o‘rnini shunday almashtirish mum-kinki, natijada olingan yangi sonli qator yaqinlashadi va yig‘indisi aynan B ga teng bo‘ladi.3. Shartli yaqinlashuvchi sonli qatordahadlari o‘rnini shunday almashtirish mum-kinki, natijada uzoqlashuvchi yangi qatorolinadi.