Спектрал ёйилмаларнинг хос функсиялар бўйича яқинлашиши

Теорема 3.3.1. Айтайлик ва шундай мав жуд бўлсинки
(3.0.3)
бўлсин. У ҳолда синфдаги ихтиёрий учун
(3.0.4)
бўлади.
Спектрал ёйилмаларнинг хос функсиялар бўйича
яқинлашиши
Фараз қиламиз — қатъий мусбат аниқланган фазодаги симметрик потенсиалли Шрёдингер оператори бўлсин. Яхши маълумки, бундай шартда берилган оператор ягона ўз-ўзига қўшма бўлган нинг даги кенгаймасига эга бўлиб, у ярим чегараланган оператор бўлади: . Айтайлик — бирнинг мос ёйилмаси бўлсин, бунда қўшимчасига спектрал теоремага кўра ва операторлар


кўриншга эга бўлсин.
Маълумки, даги ҳар бир функсиянинг спектрал ёйилмаси фазо нормаси бўйича ушбу функсияга яқинлашади.
Бундан ташқари Фурйъе қаторлари яқинлашишини нафақат ўрта квадрат яқинлашиш бўйича балки унданда кучлироқ маънода яқинлашишни кафолатлайдиган шартлар ҳақидаги турли теоремалар маълум (масалан, Н.К. Бари [73], О.А. Ладиженская [74], В.А. Илин [75] га қаранг). Мисол учун, Фурйъе қаторининг текис яқинлашиши, абсолют яқинлашиши, Фурйъе қаторини формал дифференсиаллашдан кейинги яқинлашиш ва ҳ. к.
Теорема 3.3.1 нинг исботи. Кўриниб турибдики, теорема 1.1.1 нинг барча шартлари бу ерда бажарилади. Теорема 3.2.2 га кўра синфдаги функсия учун

тенгсизлик ўринли. Соболевнинг жойлашиш теоремасига кўра охирги тенгсизлик
бу ерда (3.3.1)
кўринишга келади.
Кўриниб турибдики, (0.1.7) кўрнишдаги Шрёдингер оператори , фазода ўз-ўзига қўшма оператор бўлади. Ҳар бир _элементнинг Фурйъе қатори фазога тегишли бўлади.
бўлгани учун, шундай элемент топиладики,
(3.3.2)
бўлади. (3.3.1) тенгсизликдан келиб чиқади.
Енди эса элементни Фурйъе қаторига ёямиз:

Бу ёйилма фазо нормаси бўйича яқинлашади. Бундан ташқари,


Шундай қилиб қуйидаги муносабат ўринли бўлади
(3.3.3)
операторнинг мусбатлигидан ва операторнинг хоссаларидан, ҳамда (3.3.1), (3.3.2) тенгсизликлардан қуйидаги тенгсизлик келиб чиқади

У ҳолда (3.3.3) дан фойдаланиб

ни оламиз.