Способы решения функциональных уравнений

4.3 Решение функциональных уравнений с применением теории групп

В уравнении

под знаком неизвестной функции f(x) стоят функции

g₁ = х и g₂ = а - х.

В результате замены х на а - х получено еще одно уравнение, содержащее те же функции f (х) и f (а - х). Функции g₁ и g₂ образуют группу относительно композиции функций. Понятие группы позволяет в ряде случаев выбрать целесообразные подстановки для решения функциональных уравнений.

Пусть в функциональном уравнении


(4.3.1)

выражения f₀(x) = x, f₁(x), …, f_n-1(x), стоящие под знаком неизвестной функции g (x), являются элементами конечной группы порядка n относительно композиции функций. Коэффицненты уравнения (4.3.1) а₀, а₁ ..., а_n-1, b в общем случае зависят от x. Некоторые из них могут равняться 0. Предположим, что уравнение (4.3.1) имеет решение. Заменим х на f₁(x). Эта замена равносильна умножению справа всех элементов группы f₁. В результате последовательность функций f₀, f₁, …, f_n-1 перейдет в последовательность , состоящую из всех элементов группы.

Произведенная замена перевела уравнение (4.3.1) -линейное относительно неизвестных g(f₀), g(f₁), …,g(f_n-1) - в новое линейное уравнение относительно тех же неизвестных. Заменяя далее x → f₂(x), x → f₃(x),…, x → f_n(x) получим систему n линейных уравнений с n неизвестными.
Решая эту систему, находим неизвестную функцию g(f₀) = g(x), если, конечно, система имеет решение. Непосредственной проверкой следует убедиться, что полученная функция удовлетворяет исходному уравнению. Рассмотренный метод ограничивает область определения функции, так как приходится отбрасывать те значения аргумента, при которых элементы группы не имеют смысла.