Способы решения функциональных уравнений

Пример 4.1.2 Известно, что сложение действительных чисел обладает сочетательным свойством:


(х + у) + z = х + (у + z)

для любых х, y, z R. Требуется найти все непрерывные функции f(х), "сохраняющие" сочетательность, т. е.

f(х + у) + f(z) = f(х) + f(у + z) (4.1.2.1)


Решение. Перепишем (4.1.2.1) в виде


f(х + у) - f(x) = f(у + z) - f(z)

Легко видеть, что левая часть не зависит от х, т.е.

f(х + у) - f(x) = g(y)

При х = 0 имеем

f(у) = g (у) + а, а = f(0).

Пришли к функциональному уравнению Коши

.

Его непрерывным решением являются функции g(х) = сх. Таким образом,

f (х) = сх + а,

где а и с - произвольные константы.

4.2 Метод подстановок

Заменяя некоторые переменные функционального уравнения либо конкретными значениями, либо какими-либо другими выражениями пытаемся либо упростить это уравнение, либо привести его к такому виду, что дальнейшее решение станет очевидным. Особенность применяемого метода как раз и состоит в том, что в ряде случаев он позволяет отыскать решения в классе всевозможных функций. Поясним метод на следующих примерах.

Пример 4.2.1. Найти все функции f(x), заданные на промежутке


,

для которых выполнено равенство

Решение. Выполнив последовательно две замены ; приходим к системе функциональных уравнений:

Последнее уравнение есть сумма первых двух, умноженных на -1, т. е. из данной системы функция f(x) однозначно не определяется. Из первых двух уравнений находим

Мы можем определить f(x) произвольным образом на одном из интервалов и эти формулы дадут нам расширение f(x) на всё множество I.

Пример 4.2.2 Найти решение системы функциональных уравнений относительно неизвестных функций f(x) и g(x):





Решение. В первом уравнении сделаем подстановку 2x = 1/z.
При этом

и первое уравнение принимает вид:

или

В результате получаем систему уравнений:

решение которой


g(x) = 1/x, f(x) = x+1.


Пример 4.2.3 Найти все решения функционального уравнения


f(xy) = y^k f(x), k N.


Решение. Положим в уравнении x = 0: f(0) = y^k f(0). Так как y - произвольно, то f(0) = 0.
Пусть теперь x ≠ 0. Подставим в уравнение


,

получим:

или (a=f(1))

Функция f(x) = ax^k является решением исходного уравнения.

Пример 4.2.4 Пусть - некоторое действительное число. Найти функцию f(x), определённую для всех x ≠ 1 и удовлетворяющую уравнению


,

где g - заданная функция, определённая при x ≠ 1.

Решение. При замене получаем систему
.

решением которой при a² ≠ 1 является функция