Способы решения функциональных уравнений

4. Методы решения функциональных уравнений

4.1 Метод сведения функционального уравнения к известному уравнению с помощью замены переменной и функции

Рассмотрим определённые типы функциональных уравнений, которые можно свести к уравнениям, общие решения которых мы уже знаем. Как правило, такие уравнения сводятся к основным уравнениям Коши (3.1.1) - (3.4.1). Метод основан на введении вспомогательной функции, которую следует подобрать таким образом, чтобы после преобразований было ясно, что она удовлетворяет одному из известных функциональных уравнений.

Пример 4.1.1 Найти все непрерывные функции f (x), определенные на промежутке (0;∞), для которых разность f (x₁y) - f(x₂y) при произвольных допустимых значениях х ₁ и х ₂ не зависит от у.
Решение. По условию, выражение f (ху) - f (у) (х_г = х, х₂ = 1) не зависит от у, Поэтому


f(xy) - f(y) = f(x) - f(1).

Положив

g (х) = f (x) - f (1),

получим функциональное уравнение Коши

g(xy) = g(x) + g(y).

Известно, что в классе непрерывных функций

g (x) = сlnх.
Отсюда


f (х) = cln x+b, где b = f(1).

Проверка показывает, что условию задачи удовлетворяют функции

f (х) = сln х + b

при произвольных b и с.

Рассмотрим пример, считая х ₁ и х ₂ различными фиксированными числами. Так как f (х₁y) - f (х₂у) не зависит от у, то


f (х₁y) - f (х₂у) = с.

Пусть

х₂у = х,

тогда

f(ах) = f (x)+c,

где, а > 0, с - постоянная. Заменив х на е^х, получим

Вычитая из обеих частей , получим


,
или g(x + lna) = g(x), (4.1.1)
где .

Уравнению (4.1.1) удовлетворяют периодические с периодом lnа функции. Отсюда

При проверке убеждаемся, что функции вида

f(х) = g(ln x) + αlnx,

где α - произвольная константа, а g(х) - непрерывная периодическая с периодом функция, обладают требуемым свойством.