Способы решения функциональных уравнений

3.3 Функциональное уравнение логарифмической функции

Теорема 3.3.1 Все непрерывные решения функционального уравнения


f (xy) = f(x) + f(y), (3.3.1)

справедливого для всех положительных значений x и y, имеют вид

f(x) = log_a x (a > 0, a 1).


Доказательство. Для этого введём новую переменную ξ, изменяющуюся в промежутке (- ; + ), и положим

x = eξ (ведь x > 0), φ(ξ) = f(e^ξ),

откуда

ξ = lnx, f(x) = φ(lnx).

Тогда функция φ удовлетворяет функциональному уравнению (3.1.1):

а потому

и f(x) = clnx.

Если исключить случай c = 0 (тогда f(x) 0), то полученный результат может быть написан в виде

f(x) = log_a x, a = e^1/c.

3.4 Функциональное уравнение степенной функции

Теорема 3.4.1 Функциональному уравнению


f(xy) = f(x)·f(y) (x > 0, y > 0) (3.4.1.1)

удовлетворяют в классе непрерывных функций только функции вида

f(x) = x^a.


Доказательство. Прибегая к той же подстановке, что и в п. 3.1.4.1, мы приведём уравнение (3.4.1.1) к уравнению (3.1.1):


,

откуда

φ(ξ) = c^ξ (c >0), и, значит, f(x) = c^lnx = x^a (a = lnc).

Метод последовательного анализа можно применить к решению других уравнений.