Способы решения функциональных уравнений

3.5 Одно обобщение функционального уравнения Коши

Теорема 3.5.1 Пусть n - фиксированное натуральное число. Рассмотрим функциональное уравнение


(3.5.1)

где D (f) = R. Решение данного уравнения при n > 1 является непрерывной функцией.

Доказательство.
При n = 1 уравнение обращается в уравнение Коши. Как было показано, в классе непрерывных функций единственным решением уравнения Коши является линейная однородная функция. Из результатов Гамеля следует, что и разрывные функции могут удовлетворять уравнению Коши. Покажем, что решение уравнения (3.5.1) при n > 1 является непрерывной функцией.
Полагая х = у = 0, получим f (0) = 0. Поэтому при х = 0 из (3.5.1) имеем f(уⁿ) = (f(y))ⁿ для всех у R. Каждое неотрицательное число z может быть записано в виде z = уⁿ. Отсюда

В частности, при х = -z

т.е. f(-z) = - f (z), z R. Если , то

Отсюда следует что

f(х + w) = f(х) + f(w)

для всех х R, w R, т. е. f(х) - аддитивная функция. Для аддитивной функции при рациональных t имеет место соотношение f(tw) = tf (w). Легко видеть, что

(3.5.2)

Воспользовавшись формулой Ньютона

,

и аддитивностью f(x), преобразуем отдельно левую и правую части (3.5.2) при рациональных t:

;

Правые части последних двух равенств представляют собой многочлены от t. Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях t, получим

, .

В частности, для k = 2 имеем

. (3.5.3)

Если (f(1))^n-2 > 0, то f(x) - неубывающая функция. Действительно, всякое у > 0 представимо в виде у = х ², поэтому из (3.5.1.3) имеем f(у) = f(x²) ≥ 0. При х₁ > x₂, х₁ - x₂> 0, f(x₁ - x₂) ≥ 0, или, в силу аддитивности f(х), f (x₁) - f (х ₂) ≥ 0. Если же (f(1))^{n -2} < 0, аналогично доказывается, что функция f(х) - невозрастающая.

Ранее было доказано, что если аддитивная функция монотонна, то она имеет вид f(х) = ах.
Полагая в (3.5.3) х = 1, получим, что f(1) равно 0 или 1 при четном n и f(1) равно 0, 1 или -1 при нечетном n > 1.
Итак, f (х) = х либо f(х) = 0 при четных n; f (x) = х, либо f (х) = -х, либо f(х) = 0 при нечетных n > 1.
Тем самым доказана не только непрерывность решения уравнения (3.5.1) при n > 1, но и получен его вид.