Statistik gipotezalar. Statistik gipotezalarni tekshirish alomatlari va ularning xossalari

Matematik kutilma va dispersiyalar haqidagi statistik gipotezalarni tekshirish

Ikki bosh to‘plamlar matematik kutilmalari va dispersiyalarining tengligini tekshirish masalalariini ko‘raylik. Ikkala bosh to‘plam normal taqsimlangan deb faraz qilamiz. Demak, birinchi bosh to‘plamdan X⁽ⁿ⁾=(X₁, …, X_n) , ikkinchi bosh to‘plamdan esa Y^(m)=(Y₁, …, Y_m) tanlanmalari olingan bo‘lsin.

1. Matematik kutilmalar noma’lum bo‘lganida dispersiyalar tengligi haqidagi gipotezani tekshirish

X₁, X₂, …, X_n lar o‘rta qiymati noma’lum va dispersiyasi bo‘lgan normal taqsimlangan X t.m. kuzatilmalari va Y₁, Y₂, …, Y_m lar esa o‘rta qiymati noma’lum va dispersiyasi bo‘lgan normal taqsimlangan t.m.ning kuzatilmalari bo‘lsin. Asosiy gipoteza H₀ : = tasdiqdan, alternativ gipoteza H₁ : ≠ tasdiqdan iborat bo‘lsin. Dispersiyalarining eng yaxshi statistik baholarini ko‘raylik:

va


F – statistika deb ataluvchi quyidagi statistikani kiritamiz

Teorema(Snedekor). Agarda X o‘rta qiymati θ₁ va dispersiyasi bo‘lgan normal qonun bo‘yicha taqsimlangan t.m. va Y o‘rta qiymati θ₂ va dispersiyasi bo‘lgan normal qonun bo‘yicha taqsimlangan t.m.lar bo‘lsa, u holda

t.m. erkinlik darajalari n-1 va m-1 bo‘lgan Snedekor taqsimotiga ega bo‘ladi. ■
Snedekor taqsimotining zichlik funksiyasi

formula bilan aniqlanadi.

Alomatning kritik sohasi quyidagicha tiziladi. Agarda


yoki (C₁<1<C₂)

bo‘lsa, asosiy gipoteza H₀ ni rad etmoq lozim.

Yuqorida keltirilgan Snedekor teoremasidan foydalanib C₁ va C₂ –sonlarni aniqlaylik. Jadvaldan erkinlik darajasiga asosan Snedekor taqsimotining 1-α kvantili topiladi. Masalan, α = 0.15 va n = m = 9 bo‘lsa C₁ = 3.44, .

2. Matematik kutilmalar ma’lum bo‘lganida dispersiyalar tengligi haqidagi gipotezani tekshirish

Bu gipoteza oldingi gipotezaga o‘xshash tekshiriladi. Ammo va dispersiyalar mos ravishda quyidagicha hisoblanadi:

, ,

Bu yerda va lar X va Y t.m.lar o‘rta qiymatlaridir.

3. Dispersiyalar noma’lum bo‘lganida matematik kutilmalar tengligi haqidagi gipotezani tekshirish

Faraz qilaylik, X va Y t.m.lar mos ravishda o‘rta qiymatlari va , dispersiyalari bo‘lgan normal qonun bo‘yicha taqsimlangan bo‘lib, , va lar noma’lum bo‘lsin. (X₁, …, X_n) X t.m.ning tanlanmasi va (Y₁, …, Y_m) –Y t.m.ning tanlanmasi bo‘lsin. Asosiy gipoteza H₀ : = va alternativ gipoteza H₁ : ≠ lardan biri o‘rinli ekanini tekshirish kerak. Tanlanmalar o‘rta qiymatlari ayirmasi ni qaraylik. Shartga ko‘ra
.
Quyidagi statistikani kiritamiz:

Bu statistika erkinlik darajasi n + m – 2 bo‘lgan Styudent taqsimotiga ega bo‘ladi. U holda asosiy gipoteza H₀ o‘rinli bo‘lishini tekshiruvchi statistik alomat quyidagicha tuziladi: agarda bo‘lsa gipoteza H₀ gipoteza rad etiladi. Bu yerda qiymatdorlik darajasi α – bo‘lgan Styudent taqsimotining kritik nuqtasidir.

4. Dispersiyalar ma’lum bolganida o‘rta qiymatlar tengligi haqidagi gipotezani tekshirish

Endi o‘rta qiymatlar tengligi haqidagi gipotezani dispersiyalar ma’lum bo‘lganida tekshiruvchi alomat ko‘rib o‘tamiz. Bu holda

t.m. standart normal qonunga ega. Shuning uchun agarda bo‘lsa H₀ : = asosiy gipoteza rad etiladi. Bu yerda U_α– qiymatdorlik darajasi α (0<α<1) bo‘lgan standart normal qonun kritik nuqtasidir.