Statistik gipotezalar. Statistik gipotezalarni tekshirish alomatlari va ularning xossalari


Parametrik statistik alomat tuzish usullari


Download 439.5 Kb.
bet2/5
Sana21.04.2023
Hajmi439.5 Kb.
#1373260
1   2   3   4   5
Bog'liq
Eng quvvatli mezonlar Neyman Pirson mezoni Kolmagorov mezoni Pirsonning Xi kvadrat mezoni

2 Parametrik statistik alomat tuzish usullari


Oldingi paragrafda biz tekis eng quvvatli alomat haqida so‘z yuritdik. Tabiiyki t. e. q. alomat har doim mavjud bo‘lavermaydi. Endi parametrik statistik alomatlar orasida bo‘ladigan holni ko‘raylik. Faraz qilamiz, parametlar to‘plam Θ ikki elementdan iborat bo‘lsin: Θ = {θ1,θ2}. Asosiy gipoteza H0 ga asosan θ=θ0 bo‘lsin. U holda alternativ H1 gipotezaga ko‘ra esa θ = θ1 bo‘ladi.


Demak, shartga binoan biz o‘rganayotgan X t.m. H0 gipotezaga asosan taqsimotga, ammo H1 raqobatlashuvchi gipotezaga ko‘ra esa taqsimotiga ega bo‘ladi. Hajmi n – ga teng bo‘lgan (X1,X2, ..., Xn) tanlanma asosida qaysi gipoteza to‘g‘ri ekanini aniqlash kerak. Bu statistik masala Yu. Neyman va E. Pirsonlar tomonidan hal qilingan.
Faraz qilaylik, F0(x) va F1(x) taqsimot funksiyalar absolut uzluksiz taqsimot funksiyalar bo‘lib, mos ravishda f0(x) va f1(x) lar ularning zichlik funksiyalari bo‘lsin. Quyidagi nisbatni ko‘raylik



Mana shunday aniqlangan l(x) – haqiqatga o‘xshashlik nisbati deyiladi. Bu funksiya bilan bo‘g‘liq



ehtimollikni kiritamiz. Bu yerda с – soni Ψ(c) = α tenglama bilan aniqlanadi.


Teorema(Neyman – Pirson). Yuqorida keltirilgan shartlar bajarilganda har doim tekis eng quvvatli alomat mavjud va u quyidagi kritik to‘plam bilan aniqlanadi
.

Bu yerda c- kritik nuqta Ψ(c) = α tenglamadan topiladi.


T. e. q. alomat taqsimoti funksiyasi absolyut uzluksiz bo‘lgan hol uchun keltirildi. Ammo bunday alomat diskret taqsimotlar uchun ham mavjud bo‘ladi.
8.2 – misol. X1,X2, ..., Xn lar noma’lum θ o‘rta qiymatli va ma’lum σ2 dispersiyali normal taqsimlangan t.m.ning bog‘liqsiz tajribalar natijasida olingan kuzatilmalari bo‘lsin. Asosiy gipotezaga ko‘ra H0 : θ = θ0, raqobatlashuvchi gipoteza H1 ga ko‘ra θ = θ1 va θ1 > θ0 bo‘lsin. Demak,


,

Endi haqiqatga o‘xshashlik statistik nisbati l(x) ni topaylik





U holda tengsizlik quyidagi





tengsizlikka ekvivalent. Oxirgi tengsizlikni quyidagicha yozish mumkin.







- tanlanma o‘rta qiymat θ0 va - parametrlik normal qonun bo‘yicha taqsimlangani uchun

Bu yerda - Laplas funksiyasi. Tanlangan ixtiyoriy ehtimollik uchun, , tengliklar bajariladigan cα soni har doim mavjud. Demak, Neyman – Pirson teoremasining barcha shartlari qanoatlantiriladi. Shu teoremaga asosan t. e. q. alomat mavjud va uning kritik to‘plami quyidagicha aniqlanadi.




,

Mana shu alomatning quvvatini hisoblaylik. Alternativ H1 gipotezaga ko‘ra - tanlanmaning o‘rta qiymati θ1 va - parametrli normal qonun bo‘yicha taqsimlangandir. U holda




(1)

(1) munosabatdan ikkinchi tur xatolik


ekanligi kelib chiqadi.
Endi quyidagi masalani ko‘raylik. Aliomatning qiymatdorlik darajasi α ga teng bo‘lganida, ikkinchi tur xatolik β ga teng bo‘lishi uchun nechta kuzatilma kerak?; ya’ni tanlanmaning hajmi qanday bo‘lishi kerak? Kerakli n soni topish uchun ikkita tenglamaga egamiz. Bular


va (2)


Φ(y)=p tenglamaning yechimini ko‘raylik. Bu tenglamaning yechimi yp normal qonunning p – chi kvantili deyiladi. U holda (2) ga asosan . Oxirgi ikki tenglikdan munosabatga ega bo‘lamiz. Qidirayotgan son butun bo‘lishi lozim. Shuning uchun, . Bu erda [a] – a sonning butun qismi. Masalan, α=β=0.05 va bo‘lsa, u holda n*=1076 bo‘ladi; agarda α=β=0.001, bo‘lsa, n*=39 bo‘ladi.



Download 439.5 Kb.

Do'stlaringiz bilan baham:
1   2   3   4   5




Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©fayllar.org 2024
ma'muriyatiga murojaat qiling