Столкновение шаров. Эластичное и пластичное столкновение. Применение законов сохранения

Дополнительная информация
http://www.plib.ru/library/book/14978.html – Сивухин Д.В. Общий курс физики, том1, Механика Изд. Наука 1979 г. – стр.157 (§28, задачи 14, 15): обсуждаются ядерные реакции управляемого термоядерного синтеза.
Теперь рассмотрим абсолютно упругий удар. Ограничимся случаем центрального удара двух однородных шаров. Удар называется центральным, если векторы скорости центров шаров до удара направлены вдоль прямой, проходящей через центры сталкивающихся шаров (рис. 4.17).

Рис. 4.17. Абсолютно упругое центральное соударение двух шаров: 1 – состояние до удара; 2 – состояние после удара
Шары рассматриваем как материальные точки, то есть пренебрегаем их возможным вращением. Как и в предыдущем случае, пренебрежем также трением о поверхность, по которой движутся шары. Напишем уравнения сохранения механической энергии и импульса.
В рассматриваемом случае центрального удара скорости шаров после удара будут направлены вдоль той же прямой, по которой двигались центры шаров перед ударом. Поэтому векторы скоростей можно заменить их проекциями на линию соударения:


где m₁ и m₂ — массы шаров, v₁₀ и v₂₀ — скорости шаров до удара и v₁ и v₂ — скорости шаров после удара (скорости понимаются в алгебраическом смысле: знак указывает направление движения вдоль линии соударения).
Преобразуем уравнения сохранения энергии и импульса к виду:


Выражения, стоящие в левой и правой частях уравнений, будем считать отличными от нуля (иначе v₁₀ = v₁ и v₂₀ = v₂ — скорости шаров не изменились, то есть столкновения не произошло). Разделим первое уравнение на второе, после чего получим:

Умножим полученное уравнение на m₂ и вычтем из него преобразованное уравнение закона сохранения импульса. Находим:

Аналогично умножим полученное уравнение на m₁ и сложим с ним преобразованное уравнение закона сохранения импульса. Получим:

В отличие от неупругого столкновения, здесь скорости шаров после соударения не могут быть равны. В самом деле, если v₁ = v₂, то из полученных выражений для скоростей шаров после удара следует, что до соударения скорости тоже были равны v₁₀ = v₂₀. Но в этом случае соударение не может произойти. При центральном ударе шары столкнутся, если они движутся навстречу друг другу или один шар догоняет другой.