Столкновение шаров. Эластичное и пластичное столкновение. Применение законов сохранения

Абсолютно упругим называется удар, при котором механическая энергия тел не переходит в другие виды энергии.


При таком ударе кинетическая энергия переходит полностью или частично в потенциальную энергию упругой деформации. Затем тела возвращаются к первоначальной форме, отталкивая друг друга, и разлетаются со скоростями, величина и направление которых определяются двумя условиями — сохранением полной энергии и сохранением полного импульса системы двух тел.
Видео 4.9. Упругое столкновение тележек. «Обмен скоростями» при равенстве масс упруго сталкивающихся тел.
Абсолютно неупругий удар характеризуется тем, что потенциальной энергии упругой деформации не возникает: кинетическая энергия тел полностью или частично превращается во внутреннюю (тепловую) энергию.
После абсолютно неупругого удара столкнувшиеся тела соединяются воедино и либо движутся с одинаковой скоростью, либо покоятся.
При абсолютно неупругом ударе тел работает лишь закон сохранения импульса, механическая энергия не сохраняется, переходит в тепловую (внутреннюю), поэтому имеет место закон сохранения суммарной энергии — механической и внутренней.


Пусть два сталкивающихся шара образуют замкнутую систему. Рассмотрим сначала абсолютно неупругий удар (рис. 4.16).

Рис. 4.16. Абсолютно неупругое столкновение двух шаров: 1 — состояние до удара; 2 — состояние после удара
Начальные скорости шаров  ₁ и  ₂, а их массы m₁ и m₂ конечная скорость шаров —  . При соударении выполняется закон сохранения импульса:

откуда находим скорость образовавшейся составной частицы

Как и следовало ожидать, соединившиеся шары после соударения продолжают двигаться со скоростью центра масс системы до соударения.
Энергия, перешедшая при этом во внутреннюю энергию шаров, равна разности кинетических энергий до и после соударения:

где  — так называемая, «приведенная масса» шаров, а  — относительная скорость шаров до удара, а именно: скорость до удара второго шара (  минус  ) относительно первого. Отсюда видно, что Q равно кинетической энергии относительного движения шаров до удара. Только эта часть полной кинетической энергии шаров до удара может полностью перейти в тепловую (внутреннюю) энергию. Поэтому абсолютно неупругий удар можно определить и так: при абсолютно неупругом ударе вся энергия относительного движения переходит в тепловую (внутреннюю) энергию.
Видео 4.10. Абсолютно неупругое столкновение шаров в системе центра масс и в лабораторной системе отсчета.
Пример 3. Артиллеристы стреляют так, чтобы ядро попало в неприятельский лагерь, находящийся на расстоянии l₀ = 7.2 км от пушки. В момент вылета ядра из дула на него вскакивает барон Мюнхаузен (абсолютно неупругий удар), масса которого в n = 5 раз больше массы ядра. Из-за этого ядро падает, не долетев до цели. Какое расстояние барону придется пройти пешком, чтобы добраться до неприятельского лагеря? Сопротивлением воздуха пренебречь.
Решение. Если ядро вылетело из дула со скоростью  ₀, то после вскакивания на него барона его скорость стала равной

где m — масса ядра, а М — масса Мюнхгаузена. Пользуясь формулами темы 2.7, артиллеристы рассчитывали угол возвышения  орудия по формуле

Поскольку скорость изменилась, а угол остался прежним, дальность полета составит

Поэтому барону надо будет пройти расстояние

Иными словами, барону удалось пролететь на ядре только 200 м.