Styuart, Ptolemey teoremalari. Ko`pburchaklarga ichki aylana chizish shartlari. Ko`pburchakka doir masalalar. Stuart teoremasi

Styuart, Ptolemey teoremalari. Ko`pburchaklarga ichki aylana chizish shartlari. Ko`pburchakka doir masalalar.



STUART TEOREMASI. ABC uchburchakda D nuqta B va C orasida yotuvchi nuqta bo’lsa, u holda quyidagi munosabat o’rinli
AD²·BC=AB²·CD+AC²·BD-BC·BD·CD (1)
STUART TEOREMASINING BA’ZI TATBIQLARI :

1. 
   Stuart teoremasidan foydalanib ABC uchburchakning AD
   

medianasini uzunligini topamiz. Чизмани чизинг.
BC=a, AC=b, AB=с va D nuqta BC tomonning o’rtasi,
BD=DC=a/2 AD=m
m²·a=c²·a/2+b²·a/2-a·a/2·a/2
m²=c²/2+b²/2-a²/4
m²=(2(b²+c²)-a²)/4
m= √ (2(b²+c²)-a²)/4 (2)

2. Stuart teoremasidan foydalanib medianalari bilan berilgan ABС uchburchakning tomonlarini toping. Чизмани чизинг.
BC=a, AC=b, AB=c
AA₁=m₁, BB₁=m₂, CC₁=m₃, O- medianalar kesishgan nuqta
∆AOC uchun Stuart teoremasina qo’llaymiz
OB₁²·AC=AO²·B₁C+OC²·AB₁-AB₁·B₁C·AC
(m₂/3)²·b=(2m₁/3)²·b/2+(2m₃/3)²·b/2-b/2·b/2·b
m₂²/9=(4m₁²/9)·1/2+(4m₃²/9)·1/2-b²/4

b= ⅔√2·(m₁²+m₃²)-m₂². (3)

• 
  Xuddi shu kabi: a= ⅔√2(m₂²+m₃²)-m₁²
  

C= ⅔√2(m₁²+m₂²)-m₃²
3. Uchburchakning ikkita tomoni a va b, uchinchi tomondan bissektrisa ajratgan kesmalar a₁ va b₁ bo’lsa, shu bissektrisani toping. Чизмани чизинг.
BC=a, AC=b, AD=b₁, BD=a₁ va CD=ℓ=?
Bissektrisa xossasiga ko’ra: a₁b=ab₁ => b₁=(a₁b)/a
AB=a₁+b₁=(a+b)a₁/a
Stuart teoremasidan
ℓ²∙ AB=a²b₁+a₁b²-AB∙a₁b₁
ℓ²∙(a+b)a₁/a=a²∙a₁b/a+b²a₁-(a+b)a₁/a∙a₁∙b₁ =>
=> ℓ²=ab-a₁∙b₁
Теорема. (Птоломей) Айланага ички чизилган тўртбурчакнинг диагоналлари кўпайтмаси унинг қарама-қарши томонлари кўпайтмалари йиғиндисига тенг.

Исботи: АС диагоналда ABM=CBD шартни қаноатлантирадиган М нуқта оламиз. CDB= MAB ўринли чунки, улар битта ёйга тиралиб турибди. Булардан DBC учбурчак ABM учбурчакка ўхшаш. яъни ABCD=АМBD (1).
Ясашлардан ABD =MBC эканлигидан BCM =ADB ни ҳам ёзиш мумкин. Демак,  ABD ~ МВС.
Бундан, яъни, ADВС = BDСМ (2).
(1) ва (2) ларни ҳадма-ҳад қўшсак, ABCD+ADВС= BD(AM + CM)=BDАC га эга бўламиз. Теорема исбот бўлди.
Мисол. Птоломей теоремасидан фойдаланиб Пифагор теоремасини исботлайлик.
И сботи. ABC учбурчакни ADBC тўғри тўртбурчаккача тўлдирайлик. Маълумки, тўғри тўртбурчакнинг барча ички бурчаклари 90⁰ дан, шунинг учун унга ташқи айлана чизиш мумкин. Птоломей теоремасига кўра,
АС · BD + AD ·BC = AD · CD. Тўғри тўртбурчакнинг AB = CD, AD = BC ва AC =BD хоссаси мавжуд. Шунинг учун ҳам AC² + BC² = AB² . Демак, теорема исбот бўлди.
Птоломей теоремасидан фойдаланиб косинуслар теоремасини исботлаймиз.
Исботи.
ΔАВС учбурчакка ташқи айлана чизамиз ва АD ВС бўладиган АD ни чизамиз. АВСD тенг ёнли трапеция ҳосил бўлади. ВD=АС=b; ва CD=АВ=с; белгилашларни киритамиз. Трапециянинг АΝ ва DК баландликларини туширсак, бўлади. Бундан ни топиш мумкин. АВСD трапеция учун Птоломей теоремасидан фойдалансак, бўлар экан. Демак, кутилмаганда исботланди.
Umuman olganda 2ta natijani keltirish mumkin.
1-natija. Aylanaga ichki chizilgan to‘rtburchakning yuzi

formula bo‘yicha hisoblanadi.
2- n a t i j a . Aylanaga tashqi chizilgan to‘rtburchakning yuzi

formula bo‘yicha hisoblanadi.
Ko`pburchaklarga ichki aylana chizish shartlari. Ko`pburchakka doir masalalar.
Агар кўпбурчакнинг барча учлари айланага тегишли бўлса, кўпбурчак айланага ички чизилган дейилади. Айлана эса кўпбурчакка ташқи чизилган дейилади.
Агар кўпбурчакнинг барча томонлари айланага уринган бўлса, кўпбурчак айланага ташқи чизилган, айлана кўпбурчакка ички чизилган дейилади.
Хусусан, тўртбурчакларга ички ва ташқи айланалар чизиш шартларини мустақил ёзинг.(тез)
Агар масала шартида кўпбурчак тушунчаси қатнашса, бундай масалалар ko`pburchakka doir masalalar дейилади.