Свободные и вынужденные колебания. Характеристики колебательного движения

Маятники
Пружинный маятник
Груз массой m, подвешенный на абсолютно упругой пружине k и совершающий гармонические колебания под действием силы упругости.
Идеализация модели:

• 
  пружина невесома;
  
• 
  груз абсолютно неупругий;
  
• 
  в процессе колебаний выполняется закон Гука.
  

Период колебаний
Циклическая частота
Уравнение движения

Математический маятник
Материальная точка, подвешенная на нерастяжимой нити, совершающая гармонические колебания под действием силы тяжести и силы упругости нити.
Идеализация модели:

• 
  нить нерастяжима и невесома;
  
• 
  тело не имеет размеров;
  
• 
  вся масса сосредоточена в теле.
  

Период колебаний
Циклическая частота
Уравнение движения

Физический маятник
Твердое тело, совершающее колебания около неподвижной горизонтальной оси подвеса, не проходящей через центр масс, под действием силы тяжести.

Период колебаний
Циклическая частота
Уравнение движения

I - момент инерции тела. Если тело представляет собой совокупность точек с малыми массами, то момент инерции можно определить интегрированием: 

Величина l_пр называется приведенной длиной физического маятника, то есть длиной, которую имеет математический маятник, имеющий тот же период колебаний, что и данный физический маятник.

Сложение колебаний. Резонанс
Сложение нескольких гармонических колебаний становится наглядней, если изображать колебания в виде векторов на плоскости. Полученная таким образом схема называется векторной диаграммой.

Тогда координата проекции вектора изменяется со временем по закону
Гармоническое колебание может быть задано с помощью вектора, длина которого равна амплитуде колебаний, направление вектора образует с осью х угол, равный начальной фазе колебаний, а угловая скорость вращения вектора равна его циклической частоте.
Сложение двух гармонических колебаний одинакового направления и одинаковой частоты
Смещение х колеблющегося тела будет равно сумме смещений х₁ и х₂: 

Вектор х₀ представляет собой результирующую амплитуду колебаний. Он вращается с той же угловой скоростью ω и начальной фазой φ₀.

Рассмотрим частные случаи.

1. 
   Если разность фаз φ₁ - φ₂ колебаний равна 0 (отличается на 2π), то амплитуда результирующего колебания равна сумме амплитуд: х = х₁ + х₂.
   
   
   
2. 
   Если оба колебания находятся в противофазе (разность фаз равна ±π), то результирующая амплитуда х = |х₁ - х₂|. 
   
   
3. 
   Если частоты неодинаковы, то векторы будут вращаться с различной скоростью. Результирующий вектор пульсирует по величине и вращается с непостоянной скоростью.
   

Биения 
Периодические изменения амплитуды колебания, возникающие при сложении двух гармонических колебаний с близкими частотами, называются биением.
Пусть два колебания мало отличаются по частоте. Тогда амплитуды складываемых колебаний равны А, а частоты равны ω и ω+Δω, причем Δω намного меньше ω. Начало отсчета выберем так, чтобы начальные фазы обоих колебаний были равны нулю:

Тогда результирующее колебание можно представить в виде:

Амплитуда результирующего колебания меняется со временем по закону