Свободные и вынужденные колебания. Характеристики колебательного движения

Сложение взаимно перпендикулярных колебаний
Допустим, что материальная точка может совершать колебания как вдоль оси х, так и вдоль перпендикулярной к ней оси у. Если возбудить оба колебания, материальная точка будет двигаться по некоторой, вообще говоря, криволинейной траектории, форма которой зависит от разности фаз обоих колебаний.
Выберем начало отсчета времени так, чтобы начальная фаза первого колебания была равна нулю. Тогда уравнения колебаний запишутся следующим образом:

где α - разность фаз обоих колебаний.
После преобразования получим уравнение траектории, которое представляет собой параметрическое уравнение эллипса, оси которого повернуты относительно осей х и у.

Рассмотрим частные случаи.
1. Разность фаз равна нулю. В этом случае получается уравнение прямой.

Результирующее движение является гармоническим колебанием вдоль этой прямой с частотой ω и амплитудой 
2. Разность фаз равна ±π. Уравнение имеет вид прямой.

3. При α = ±π/2 получается уравнение эллипса, приведенного к координатным осям. При равенстве амплитуд эллипс превращается в окружность.

При сложении взаимно перпендикулярных колебаний разных частот получаются различные траектории материальной точки, названные фигурами Лиссажу. Чем ближе отношение частот к единице, тем сложнее получается фигура Лиссажу. 

Резонанс
Резонанс - явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний при совпадении частот вынуждающей силы и собственных колебаний маятника. Вынужденные колебания происходят, если внешняя сила изменяется периодически:

Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний

где F_тр = - rx'
Амплитуда колебания определяется формулой

где коэффициент затухания β = r/2m.
Для определения резонансной частоты надо найти минимум знаменателя. Резонансная амплитуда