u; e D, (1)
T
Z - ^Z; ^ max . (2)
t-1
-(2) modelga ishlab chiqarishning dinamik modeli deb ataladi. Bunga asosan, har bir t qadamdagi u; boshqarishni shanday aniklash kerakki, natijada
sistemaning rejalashtirilayotgan davrdagi erishgan daromadlar yig’indisi maksimal bo’lgan.
DD masalasining umumiy holda qo’yilishi. Boshqarish mumkin bo’lgan jarayonni karaymiz. Bu jarayonni t ta (t -1, T) bosqichga ajratish mumkin
bo’lsin. Jarayonning har bir t bosqichi boshidagi holatini xt vektor bilan belgilaymiz:
Х, = (Xt, X 2t,..., Xmt).
Jarayon davomida sistemaning holati uzgaradi. Uning Xt_ holatdan Xt
holatga utishiga ut boshqarish ta’sir kiladi. Demak, Xt ni Xt_ va ut uzgaruvchilarning funksiyasi sifatida ifodalash mumkin, ya’ni
Xt = ^( Xt _l, Щ).
Bunda, ut boshqarishni ixtiyoriy ravishda emas, uni mumkin bo’lgan boshqarishlar to’plamidan, ya’ni
ut e Dt
dan tanlash kerak. Demak, bunday aniklashlarda jarayonning butun karalayotgan davr [0, T] ichidagi rivojlanishi Х0, X1, X2,..., XT _ vektorlar ketma-ketligi
orqali aniklanadi (Xt e Xt, Xt mumkin bo’lgan holatlar to’plami).
Jarayonni boshlangich X0 holatdan sunggi XT holatga utkazuvchi u1, u2,..., uT boshqarishlar ketma-ketligi strategiya deb ataladi. Bunday strategiyalar ichida jarayonni eng yaxshi XT holatga utkazuvchi strategiyani tanlash kerak. Buni amalga oshirish uchun
T
fT (X) = Z Zt (Xt_1’ Xt )
t=1
maqsad funksiyani kritamiz, bunda Zt (Xt_t, Xt) sistemaning Xt_ holatdan Xt holatga utganda hisoblanadigan va bu holatlarni solishtirishda ishlatiladigan “baholovchi” funksiyadir.
Shunday qilib, DD masalasi umumiy holda quyidagicha qo’yiladi:
sistemaning boshlangich holati X0 ma’lum bo’lganda shunday u = (u1, u2,..., uT) strategiyani tanlash kerakki, u
Xt = (p(Xt_t, ut), Xt e Xt, ut e Dt, t = 1, T (3)
shartlarni kanoatlantirib
fT (X) = Z Zt(Xt _i’ Xt) (4)
t=i
funksiya ekstremal qiymatga ega bo’lsin.
Bellmanning funksional ekstremal tenglamasi. Birinchi qadamdagi
boshqarish ut bo’lsin, buning natijasida jarayon X0 holatdan Xt holatga o’tadi
va Zt(X0, Xt) yutuq (zarar) keltiradi. Ikkinchi qadam u2 boshqarish jarayoni Xt
holatdan X2 holatga ko’chiradi va natijada Z2(Xt, x2) yutuq (zarar) keltiradi va
hokazo k - qadamda uk boshqarish jarayoni Xk_t holatdan Xk holatga ko’chadi
va Zk (Xk_t, Xk) yutuq (zarar) keltiradi.
Demak, jarayonni x0 holatdan x1 holatga ko’chirish uchun shunday
u - (u1, u2,..., uT) boshqarishni (strategiyani) tanlash kerakki, undagi ZT (x0, u) yutuq (zarar) maksimal (minimal) bo’lsin, ya’ni fT (x) - ZT (x0, u) ^ max (min),
ZT (x0, u) - Z1(x0, u1) + Z2(x15 u2) +... + ZT (xT-1, uT) yig’indi ko’rinishda yozsak, DD masalasi quyidagicha ifodalanadi:
fT (x) - ZT (x0, u) - Z1(x0, u1) + Z2(x15 u2) +... + ZT (xT-1, uT) (5)
funksiya maksimumga ega bo’ladigan u - (u1, u2,..., uT) strategiyani topish kerak. Ushbu belgilashlarni kiritamiz:
Dt , Dt 1 t ,...., "^^^1 2 T
bu yerda DT masalaning oxirgi bosqichidagi aniqlanish sohasi, DT-1T T va T-l bosqichlardagi aniqlanish sohasi, D12,...,T - D berilgan masalaning aniqlanish sohasi bo’lsin.
Maqsadli funksiyaning oxirgi bosqichdagi optimal qiymatini f1(xT-1) bilan belgilaymiz:
O’zbekiston Respublikasi Oliy va o’rta maxsus ta’lim vazirligi 1
Ma’ruzalar matni 1
1-mavzu: Iqtisodiyotni boshqarishda iqtisodiy-matematik modellar va usullarni qo’llash samaradorligi. Fanning maqsadi, vazifalari va boshqa fanlar bilan aloqasi. 4
3-mavzu.Chiziqli dasturlash masalasini echishning simpleks usuli. 20
4-mavzu. Cheklangan resurslarni samarali taqsimlash masalasini yechishda ikkilanganlik nazariyasi. 34
5-mavzu. Xomashyo va materiallardan optimal foydalanish modellari. Optimal qirqish masalasi. 44
F = ZZC. *Xj ^ min 45
Z L * Xj < A 45
F = V V P * XiJ ^ min 46
3)X. > 0. 48
Z Pv xi = Bj (j =1 n); 50
Z xi < A 50
6-mavzu. Iqtisodiy jarayonlarda optimallashtirish usullarini qo’llash. Transport masalasi Reja: 51
Z a *Z bj 52
Z a >Z bj. 53
Z b.-Z ai 53
Z Xj £ Bj, (j = & } 83
^ т 112
u1 e D
ega bo’lamiz. (9), (10) ifodalar optimallik prinsipining matematik ifodalanishi bo’lib, ularga Bellman funksional-ekstremal tenglamalari yoki DD ning asosiy funksional tenglamalari deyiladi. DD nazariyasiga amerikalik olim R.Bellman katta hissa qo’shdi. Asosiy funksional-ekstremal tenglamalarni ishlab chiqish, unga tegishlidir.
Funksional-ekstremal tenglamalar yordamida DD ning T bosqichdagi yechimini T-l bosqichdagi yechim orqali topiladi. Shuning uchun (9), (10) ifodalarni Bellman rekurrent munosabatlari deb ham yuritiladi. Bunda dastlab oxirgi T qadamdagi uT boshqarish topiladi. Bu boshqarish jarayonni xT-1 holatdan xT holatga ko’chiradi. Demak, uT xT-1 ga bog’liq bo’ladi, ya’ni
uT = uT (XT _1). (11)
shartni kanoatlantiruvchi boshqarishni T bosqichdagi shartli optimal yechim deymiz. Oxirgi ikkita T-l va T qadamlardagi masalaning shartli optimal yechimi
uT _1 ut _1 ( XT _2 )
topiladi. So’ngra masalaning oxirgi uchta bosqichdagi shartli optimal yechimi
uT _2 uT _2 ( XT _3 )
aniqlanadi va hokazo. Shunday usul bilan birinchi qadamdagi masalaga yetib boriladi va
u1 (X0), u2(X1),..., ut_1 (Xt_2), ut(Xt_1)
shartli optimal yechimlar ketma-ketligi hosil qilinadi. Keyin bu jarayonni oldingiga nisbatan teskari yo’nalishda, ya’ni birinchi bosqichdan-yakuniy bosqichga tomon yana bir takrorlab, har bir bosqichdagi optimal u*,u*,...,u* boshqarish aniqlanadi.
Dinamik dasturlash usuli. T bosqichli masalani yechish jarayonini
qaraymiz. Oldin jarayonni teskari yo’nalishda ya’ni XT_1 dan X0 ga tomon tahlil qilamiz. Buning uchun T bosqich uchun funksional-ekstremal tenglamani tuzamiz, bu tenglama (6) ko’rinishda bo’ladi. T bosqichning boshida jarayon
XT_11, XT_12,..., XT_1kholatlarda bo’lishi mumkin. Soddalik uchun butun sonli
XT_1k e XT_1 holatlarni qaraymiz. Bu holatlarning har biri uchun T bosqichdagi shartli optimal uTд, uT,2,..., uTk yechimlar (12) va ularga mos keluvchi
Zt,1, Zt,2,..., ZT,k (13)
daromad (zarar) lar topiladi. (12) yechimlar orasida f1(XT_1) funksiyaga
*
maksimum (minimum) qiymat beruvchi va u optimal strategiyaning tarkibiga
*
kiruvchi uT yechim bo’ladi. Shunday qilib, oxirgi qadam optimallashadi, ya’ni bu qadamning boshida jarayon qanday bo’lishidan kat’iy nazar qabul qilinadigan yechim aniqlanadi.
Keyin T-l o’tiladi. Bu qadam uchun funksional-ekstremal tenglama (7) ko’rinishda bo’ladi. Bu qadamda ham, yukoridagidek har bir mumkin bo’lgan
XT_2 k e XT_2 holat uchun mumkin bo’lgan uT_k k e DT_1 yechim va unga mos keluvchi ZT_1k daromad (zarar) topiladi. Sungra ZT_1k + f yig’indilarni o’zaro solishtirib, har bir XT_2k holatga mos keluvchi yig’indini, shu bilan unga mos keluvchi shartli optimal yechim uT_1k topiladi. Bu yechimlar orasida f2(XT_2)
*
funksiyaga ekstremal qiymat beruvchi va optimal u strategiyaning tarkibiga
*
kiruvchi uT _1 yechim bo’ladi.
Bu usulni davom ettirib, jarayonning birinchi qadamiga yetib kelamiz. Bu qadamda jarayon faqat bitta aniq holatda bo’lishi mumkin. Shuning uchun birinchi qadamda oldingi bosqichlarda topilgan barcha shartli optimal yechimlarni nazarga oluvchi va x0 holatga mos keluvchi optimal yechim topiladi.
Shunday qilib, hamma mumkin bo’lgan holatlar uchun ketma-ket f1, f2,..., fT-1, fT funksiyalarning qiymatlari va turli bosqich va holatlarga
Do'stlaringiz bilan baham: |
