T. I. Umarov s. I. Xudoyberdiyev iqtisodiy matematik usullar va

n1=4, n2=6, k=4+6=10 bosqichdan iborat.

Optimallashtirishni S10 oxirgi bosqichdan boshlaymiz. Buni aloxida olib karaymiz.

3-chizma

5-chizma
4-chizma

S₁₀ holatga A₁ va A₂ nuqtalarning bittasi orqali kelish mumkin. Oxirgi qadamda samolyot A₁ ga kelgan bo’lsa S₁₀ holatga utish uchun u faqat tezlikni oshiradi va bunga 8 birlik yoqilg’i ketadi. Samolyot A₂ nuqtaga kelgan bo’lsa. balandlikni oshirib, 11 birlik yoqilg’i sarflab S₁₀ holatga keladi. Shartli optimal boshqarishni milli chiziq (strelka) bilan belgilab qo’yamiz (3-chizma). Shunday qilib oxirgi qadam rejalashtirildi. Endi 9-qadamga o’tamiz. Bunda A₁ va A₂ nuqtalarga keladigan hamma hollarni qaraymiz. Bu nuqtalarga V₁, V₂ va V₃ holatlardan kelishi mumkin (4-chizma). V₁ nuqtadan tanlash yo’q, ya’ni samolyot bu nuqtada bo’lsa, faqat tezlikni oshiradi va 9+8 birlik yoqilg’i sarflab S₁₀ nuqtaga keladi. V₂ nuqtadan S₁₀ ga A₁ yoki A₂ nuqtalar orqali o’tish mumkin. Bunda A₁ orqali kelsa 10-8=18, A₂ orqali kelsa, 24 birlik yoqilg’i sarflaydi, bundan kichigini tanlab, strelka qo’yamiz. 8-qadamda S₁₀ holatga S₁, S₂, S₃, S₄ nuqtalar orqali kelish mumkin, bunda S₁, S₄ nuqtalardan kelishda tanlash yo’q. S₂ nuqtadan o’tishda 8+10+7=25, 8+9+8=25 ikki holatda ham 25 birlik yoqilg’i sarflanadi. S₃ nuqtadan kelsa 8+10+10=28 yoki 11+13+10=34, 12+11 + 11=34 bo’lib, eng kichigi 28 birlik yoqilg’i sarflanadi. Har bir nuqta orqali S₁₀ ga o’tishda sarflarning eng kichigini doiralarga yozib qo’yamiz (5- chizma). Endi 7-qadamga o’tamiz va hokazo (6-chizma).

Bu jarayonni davom ettirib, S₀ holatga kelamiz va minimum sarf 88 birlik yoqilg’i sarf bo’ladi. 7-chizmadan ko’rinadiki, optimal boshqarish yagona bo’lmasligi ham mumkin. Chizmada bu rejalar qalinroq chiziq bilan ko’rsatilgan.





Shunday qilib, optimal boshqarish rejasi quyidagicha bo’ladi: 1-qadamda tezlikni, 2-qadamda balandlikni, 3-qadamda tezlikni, 4-qadamda yana tezlikni,

5. 
   
   ^{qadamda ham tezlikni, 6-8 qadamlarda balandlikni 9-10 qadamlarda tezlikni oshirib S10 holatga kelish mumkin. 8-qadamda balandlikni oshirmasdan tezlikni,}
   

9. 
   
   ^{qadamda balandlikni va 10-qadamda tezlikni oshirib ham S10 holatga kelish mumkin. Ikkala holda ham minimum harajat 88 yoqilg’i birligi bo’ladi.}
   

^{Qaralgan masalada, bir vaqtning o’zida tezlik va balandlikni ham oshirish hisobiga olinmaganligi uchun masalani yechish oddiylashdi. Birdaniga tezlikni va balandlikni oshirilsa, harakat diagonal bo’yicha bo’ladi. Bu holda tanlash ko’payadi yechish mazmuni oldingiga o’xshash bo’ladi. Bunga misol qilib 8- chizmadagi masalani ko’rsatish mumkin.}

2. 
   
   ^{Endi Bellman funksional-ekstremal tenglamalari usuli tatbiqi sifatida iqtisodiyotga oid ushbu resurslarni optimal taqsimlash masalasini qaraymiz: x miqdordagi mablag’ni, ikkita bir xil bo’lmagan korxona rivojiga sarflash kerak bo’lsin.}
   

<sup>Birinchi korxonaga u miqdorda mablag’ sarflansa, ikkinchisiga x-u mablag’ sarflanadi va mos ravishda g(y) va h(x-y) foyda oladi. y - miqdorni shunday tanlash kerakki, umumiy V foyda maksimal bo’lsin. Bu masalani analitik usulda

^^, y) = g(y) + h(x - y) (1)





funksiyaning y e [0, x] uchun maksimum qiymatini topishga keltiriladi.

g va h, x > 0 qiymatlar uchun uzluksiz funksiyalar bo’lsa, (1) funksiya maksimum qiymatga albatta, ega bo’ladi. Demak, V1(x,y) funksiyaning maksimal qiymati bir bosqichli jarayonning mumkin bo’lgan maksimal qiymatini ifodalaydi. Bunda foydaning o’lchov birligi, x - mablag’ning o’lchov birligidan farq qilishi mumkin (masalan, x pul birligi, g(y) esa u mablag’ga sotib olingan uskunalarni o’rnatish bilan inson mehnati iqtisodi bo’lishi mumkin).

Ikki bosqichli jarayonni qaraymiz. Faraz qilaylik, g(y) foyda olish uchun zarur bo’lgan harajat, boshlang’ich miqdori ay miqdorgacha kamaysin, bunda</sup>

1. 
   
   ^{< а < 1 o’zgarmas son. Shunga uxshash h(x-y) miqdorda foyda olish uchun zarur bo’lgan harajat miqdori boshlangich (x-u) mablag’ miqdori b(x-y) gacha}
   

1. 
   
   ^{< b < 1 kamayadi. Shunday qilib, jarayonning bir bosqichi natijasida mablag’ qoldig’i}
   

<sup>ay + b( x - y)

ni tashkil etadi. ay + b( x - y) qolgan mablag’ni qayta taqsimlaymiz,</sup>

11. 
    
    ^{= У1 + (xi - Ух)}
    

<sup>bunda 0 < yt < xt. Bu taqsimlash natijasida g(yt) + h(- yt) daromad olinadi. Umumiy daromad

W2(x>У>Ух) = g(y) + h(x - y) + g(Ух) + h(xi - Ух) bo’ladi. Bu ikki o’zgaruvchili funksiyaning 0 < y < x va 0 < yt < xt shartlarda maksimumini topish bilan ikkinchi bosqichdagi umumiy maksimal daromad olinadi.

Endi mablag’ni N marta qayta taqsimlanadigan jarayonni N bosqichli jarayon sifatida qaraymiz. Bu jarayonning umumiy daromad ushbu funksiya bilan ifodalanadi:

W(x y, У1 v.^ yN-1) - g(У) + h(x - У) + g(У1) + h(x1 - У1) +... +

+ g(yN-1) + h(xN-1 - yN-1)

(2)

bunda birinchi, ikkinchi va hokazo N - bosqichlarda qayta taqsimlanadigan mablag’lar ushbu tengliklardan aniqlanadi:</sup>