T. I. Umarov s. I. Xudoyberdiyev iqtisodiy matematik usullar va

x1 - ay + b(x - y), 0 - y - x,

x2 - ay1 + b(x1 - y1), 0 - y1 - x1,

(3)

_xN-1 - ayN-2 + b(xN-2 - yN-2 ), 0 - yN-2 - xN-2, 0 - yN-1 - xN-1.

Bu holda umumiy (jami) maksimal daromad (2) y, y15 y2,..., yN-1.. o’zgaruvchili funksiyaning N o’lchovli fazodagi (3) shartlarni qanoatlan-tiruvchi maksimumini topish bilan aniqlanadi.

Shunday qilib, N o’zgaruvchili funksiyaning biror sohadagi maksimumini topish masalasiga kelamiz. Ma’lumki, bunday masalalarni klassik usullar bilan yechib bo’lmaydi yoki katta qiyinchiliklarga olib keladi. Bu masalani N bosqichli jarayonda optimallik prinsipini qo’llab yechish mumkin. Shuni ta’kidlaymizki, N bosqichli jarayonda daromadning maksimum qiymati N bosqichlarga va boshlang’ich x miqdorga bog’liq bo’ladi. Shuning uchun, maksimal daromad funksiyasi fN(x) - maxWN(x, y, y1v.., yN-1) ko’rinishda

ifodalash mumkin. Masala shartiga asosan, bir bosqichli masala uchun

f1(x) - my<x[g(y)+h( x - y )] (4)

funksional-ekstremal tenglamani hosil qilamiz. Ikki bosqichli masalani qaraganda, umumiy daromad.

f2(x) - dggxfe( у ) + h( x - у) + f1 tay + b( x - у )]} (5)

formula bilan ifodalanadi.

Xuddi shunday, N bosqichli jarayon uchun

fN(x) - gy-Jg( у) + h( x - у ) + fN-1 [ay+b( x - У)]}

rekurrent formula kelib chiqadi, bu yerda N > 2. f1(x) funksiya qiymatini (4) formula yordamida hisoblab, (5) ga asosan f2( x) ni aniqlaymiz.

Funksional-ekstremal tenglamalar usulini qo’llash bilan N o’lchovli masalani ketma-ket yechiladigan N ta bir o’lchovli masalaga keltiriladi.

Shunday qilib, umumiy holda

fN (x) - 0maxx[gN (У) + fN-1 (x - yN )] (7)

funksional tenglamaga ega bo’lamiz, bunda f jarayonning maqsadi kriteriyasi daromad foyda va boshqalar); N - bosqichlar soni; x - N sistemaning holatini harakterlovchi o’zgaruvchi; fM(x) - kriteriyaning natijaviy qiymati; ум - boshqaruvchi o’zgaruvchi, uning tanlanishiga qarab kriteriyaning natijaviy qiymati o’zgaradi; gM (yM) kriteriyning N bosqichda ум ning optimal

tanlanishiga qarab (0 < yN < x) topilgan qiymati; fN-t(x - yN)- (N-1) bosqichdagi kriteriyning natijaviy qiymati.

N bosqichda yN = y*N optimal boshqarish tanlangan bo’lsin. (N-1) bosqichdagi holat ushbu tenglama bilan ifodalanadi:

fn-i(x - yN ) = max JgN-i(Ум-i) + fN-2 (x - yN - Ум-i)]. (8)

0< Ум-1< x- Ум

Endi bu funksional-ekstremal tenglamalar usuliga sonli misol qaraymiz.

Ma’lumki, resurslardan olinadigan umumiy (jami) daromad, mablag’ning boshlang’ich miqdori x va N bosqichlar soniga bog’liq. x mablag’ni u va x-u miqdorlarda taqsimlash natijasida k - yilda gk(x, y) daromad olinib, rk(x, y) mablag’ qoldig’i qoldi, deylik. Shunday boshqarishni tanlash zarurki, N - bosqichli jarayonda olinadigan umumiy daromad maksimum bo’lsin. gk (x, y) va rk(x, y) funksiyalar uzluksiz bo’lsin, bu yerda

x > 0,0 < y < x, 0 < rk (x, y) < ax, a < 1, к = 1,2,.... fN(x) - N bosqichli jarayonning umumiy daromadi. Bir bosqichli, ya’ni N=1 uchun

<sup>fkl( x) = jg^gk (x’ У )



N>2 bo’lganda

fkN(x) = gyiJgk(x> У) + fk+i, м-i [rk(x У)]} bo’ladi. k=N uchun fN (x) = 0max gN (x> У) , (9)



va k = N-1, N-2, ..., 2, 1 uchun

fk (x) = Jgk (x’ У) + fk+1 [rk (x’ У)]} . (10)



Misol. Ikkita I va II tarmoqlarni rivojlantirish uchun 5 yilga x mablag’ ajratilgan. U miqdordagi mablag’ni I tarmoqqa sarflasak, bir yilda (p(y) = y2 daromad olish mumkin va uning miqdori ф(у) = 0,75y ga kamayadi. (x-u) miqdordagi mablag’ni II tarmoqqa sarflab, bir yilda %(х - у) = 2(х - у)2 daromad olish mumkin va u p(х - у) = 0,3(х - у) ga kamayadi.

Ajratilgan mablag’ni rejalashtirilayotgan davrga tarmoqlararo shunday taqsimlash kerakki, olinadigan umumiy daromad maksimal bo’lsin.

Yechish. rejalashtiriladigan 5 yilni, 5 ta bosqichga ajratamiz, ya’ni N=5, K=1,2,3,4,5 bo’lsin.

Optimal yechimni aniqlashni 5 bosqichidan boshlaymiz, bu bosqich boshida x4 qolgan mablag’ni taqsimlash kerak bo’ladi. Bunga mos u5 ning optimal qiymatini topish kerak. (9) tenglamalar tarkibidagi ifodani tuzamiz:

g5 (X4, У5) = Р(У5) + £(х4 - У5) = У52 + (х4 - у5)2;</sup>

y52 + 2(x4 - y5 )2 funksiyaning 0 < У 5 < x4 oraliqdagi maksimum qiymatini

2

topaylik. Zaruriy shartga asosan, 2y5 - 4(x4 - y5) - 0 bundan y5 - 3 x4.

Ikkinchi tartibli hosilani topamiz:

2

g5(X4,y5) - 2 + 4 > 0; y5 - 3x4

2 2

minimum nuqtasi bo’lib, g5(х4,^х4) -— x4 . Funksiyaning [0, x4] kesmaning

chetki nuqtalaridagi qiymatini hisoblaymiz:

У5 - 0 bo’lganda, gs(X4, ys) - 2x4 У5 - 4 bo’lganda, g5(х4, y5) - X42 2

2x2 > xl>— x4 bo’lganligi uchun g5(x4, y5) funksiya [0,x4] kesmada u=0

bo’lganda eng katta qiymatga ega bo’lib, u5=0 bo’lganda f5(x4) - 2x4.

Shunday qilib, oxirgi bosqich boshidagi qolgan mablag’ni II tarmoqqa sarflansa, eng katta daromad olinadi.

(10) tenglamadan foydalanib 4, 3, 2, 1 bosqichlardagi mablag’larni ketma- ket taqsimlashning optimal qiymatini topiladi:

4-bosqich uchun

f4 (x3 ) - ogya-X {g4 (x3 , У4 ) + f5 (x4)} - max У + 2(x3 - У4) + 2x42}

bo’lib, bunda x3 4-bosqich boshidagi qolgan mablag’, 4-bosqichda I tarmoq uchun u4 mablag’ sarflansa, (x3-u4) II tarmoqqa sarflanadi, ya’ni X4 - 0,75У4 + 0,3(x3 - У4). x4 ning x3, u4 orqali ifodasini tenglamaga qo’yib

f4(x3) - ogya-x^ y + 2(x3 - У4)2 + 2[0,75у 4 + 0,3(X3 - xOP }

4-bosqich tenglamasi hosil bo’ladi. Qavs ichidagi ifodaning

Z4 - y4 + 2(x3 - y4)2 + 2[0,75у4 + 0,3(х3 - у4)]

[0, x3] kesmadagi eng katta qiymatini hisoblaymiz:

^ - 2y4 - 4(x3 - У4) + 4[0,75у4 + 0,3(х3 - y4)](0,75 - 0,3);

дУ4

6,81y4 - 3,46x3 - 0, y4 « 0,5x3; d2 Z,

2 - 6,81 > 0; Z4 (0,5x3)«1,3x3

Demak, u4=0,5x3 minmum nuqtasi bo’ladi. Z4 funksiyaning [0,x3] kesmaning chetki nuqtalaridagi qiymatini hisoblaymiz.

<sup>u4=0 bo’lganda, Z4 = 2,18x32, u4=x3 bo’lganda, Z4 = 2,125x32,

2,18x32 > 2,125x2 > 1,3x3 bo’lganligi uchun Z4 funksiya [0,x3] kesmada u4=0 bo’lganda eng katta Z4 = 2,18x32 qiymatga ega bo’ladi. Shunday qilib, 4- bosqich boishda qolgan hamma mablag’ni II tarmoqqa sarflansa eng katta daromadga ega bo’ladi.

3-bosqich uchun funksional tenglamani yozamiz:

f3(x2) = max {gз(x2, Уз) + f4(x3)}= max {уз2 + 2(x2 - Уз) + 2,18x32},</sup>


032 0< y3< x 2

bu yerda x2 - 3-bosqich boshidagi qoldiq mablag’ bo’lib, uning u3 qismini I tarmoqqa sarflasak, II tarmoqqa x2-u3 qismi sarflanadi, ya’ni x3 = 0,75у3 + 0,3(х2 - у3) .

Bu bosqich tenglamasida x3 ni x2 va u3 orqali ifodasi bilan almashtirsak

f3(x2) = ^3* {УЗ + 2(x2 - У3)2 + 2,18[0,75у3 + 0,3(X2 - у3)]2 }

hosil bo’ladi. Bu funksiyaning [0, x2] kesmadagi eng katta qiymati u3=x2 nuqtada bo’lib, f3(x2) = 2,23x2 bo’ladi. Xuddi 5, 4, 3 bosqichlardagidek 2 bosqich uchun

^{f2(xi) = 0maxxiУ + 2(xi - У2)2 + 2,23х22}}



tenglamani hosil qilib

x2 = 0,75ух + 0,3(xt - у2) ni bu tenglamaga qo’ysak

f2( xi) = ПШХ {У2 + 2( xi - У2)2 + 2,23[0,75 у 2 + 0,3( Х1 - у2)]2 }

tenglama hosil bo’ladi. Bu funksiyaning [0, x1] kesmadagi eng katta qiymati u2=x1 nuqtada bo’lib, f2(x1) = 2,25xt2 bo’ladi. Endi birinchi bosqich uchun funksional tenglamani tuzamiz:

fi( x) = + 2( x - Ух)2 + 2,25х 2}

yoki

fi( x) = 0xx{yi2 + 2( x - У1)2 + 2,25[0,75 ух + 0,3( х - ух)]2 }.

Oxirgi funksiyaning [0,x] kesmadagi eng katta qiymati u1=x nuqtada

bo’lib, fi( x) = 2,27 x2 bo’ladi. Demak, birinchi bosqichda eng katta daromadga

erishish uchun hamma mablag’ni I tarmoqqa sarflash kerak ekan.

Shunday qilib, eng katta daromad olish uchun ajratilgan mablag’ni birinchi uch yilda hamma mablag’ni I tarmoqqa, keyingi 2 yilda kolgan mablag’ni II tarmoqqa taqsimlash kerak bo’ladi. Demak, birinchi yil boshida hamma mablag’ni I tarmoqqa qo’yiladi va u yil oxirida 0,75x gacha kamayadi. Qolgan 0,75x mablag’ni 2-yil boshida yana I tarmoqqa qo’yiladi va yil oxirida

1. 
   
   ^{750.75.0,56x gacha kamayadi. Uchinchi yil boshida 0,56x mablag’ni yana I tarmoqqa qo’yiladi hamda yil oxirida 0,75-0,56=0,42x gacha kamayadi. 4-yil boshida 0,42x mablag’ni II tarmoqqa qo’yiladi va yil oxirida 0,3-0,42x=0,126x gacha kamayadi. 5-yil boshida 0,126x mablag’ni II tarmoqqa qo’yiladi va u yil oxirida 0,3-0,126x=0,038x bo’ladi. Bunday taqsimlash bilan 5 yilda optimal daromad f (x) - 2,27 x1 bo’ladi.}
   

<sup>Mavzuning tayanch tushunchalari

Dinamik dasturlash, ko’p bosqichli tuzilish, optimallik prinsipi (qoidasi), resurslarning optimal taqsimoti, boshqariluvchi jarayon, sistemaning holati, ishlab chiqarishning dinamik modeli, boshqarish strategiyasi, Bellman funksional ekstremal tenglamasi, optimallik prinsipining matematik modeli, rekurrent munosabatlar, dinamik dasturlash usuli, shartli optimal yechim, DD usuli bilan yechiladigan iqtisodiyot masalalari, Bellman funksional-ekstremal tenglamalari bilan yechiladigan iqtisodiyotga oid masalalar.

Takrorlash uchun savollar</sup>

2. 
   
   ^{Dinamik dasturlash qanday usul?}
   
3. 
   
   ^{Dinamik dasturlash bilan qanday masalalar yechiladi?}
   
4. 
   
   ^{Iqtisodiyotda bosqich deb nimalarni olish mumkin?}
   
5. 
   
   ^{Dinamik faqat vaqtga bog’liqmi?}
   
6. 
   
   ^{Dinamik dasturlashda dinamika nimada ifodalanadi?}
   
7. 
   
   ^{Dinamik dasturlashning mohiyati nimada?}
   
8. 
   
   ^{Dinamik dasturlash usullari bilan qanday masalalarni yechish mumkin?}
   
9. 
   
   ^{Dinamik dasturlash qanday xususiyatlarga ega?}
   
10. 
    
    ^{Optimallik prinsipi nima?}
    
11. 
    
    ^{Resurslarning optimal taqsimoti masalasi nimadan iborat?}
    
12. 
    
    ^{Ishlab chiqarishning boshqarilishiini nimadan iborat deb bilasiz?}
    
13. 
    
    ^{DD masalasi umumiy holda qanday qo’yiladi?}
    
14. 
    
    ^{Strategiya nima?}
    
15. 
    
    ^{Bellman funksional-ekstremal tenglamasi nimadan iborat?}
    
16. 
    
    ^{Bellman rekurrent munosabatlari nima?}
    
17. 
    
    ^{Rekurrent munosabatlarda yechim nimadan boshlab topiladi?}
    
18. 
    
    ^{Dinamik dasturlash usuli nimadan iborat?}
    
19. 
    
    ^{Shartli optimal yechim nima?}
    
20. 
    
    ^{DD usullari bilan yechiladigan iqtisodiyotga oid masalalarga misollar keltiring.}
    
21. 
    
    ^{Bellman funksional-ekstremal tenglamalari usuli bilan yechiladigan iqtisodiyotga oid masalalarga misollarkeltiring.}
    
22. 
    
    ^{Resurslarni optimal taqsimlashda Bellman funksional tenglamalari-dan foydalansa bo’ladimi?}
    

^{Mustaqil ish uchun topshiriqlar}

1. 
   
   ^{9-chizmada berilgan shartlar bo’yicha samolyotni boshqarish jarayonida eng kam yoqilg’i sarflanadigan rejani tuzing.}
   

^{У s.}

10-chizma.

3. 
   
   ^{11-chizma doiralarida raqamli aholi punktlari, ularni bog’lovchi to’g’ri chiziqdagi sonlar ular orasidagi masofalar bo’lsa 1 aholi punktidan 8 punktgacha eng qisqa yo’lni toping.}
   

^11-chizma.

3. 
   
   ^{11-chizmada 2, 3, 5 punktlardan 8 punktgacha eng qisqa masofali yo’llarni ko’rsating.}
   
4. 
   
   ^{Ikkita K1 va K2 korxonalarning ishini 4 yillik davrga rejalashtirilayotgan bo’lsin. Z0=1000 birlik mablag’ni K1 va K2 korxonalar}
   

<sup>o’rtasida, yillar bo’yicha shunday taqsimlash kerakki, rejalashtirilayotgan davrda olingan jami daromad maksimal bo’lsin. Daromad va qoldiq funksiyalari 1-jadvalda berilgan:

1-jadval.</sup>

Korxonalar	i-yilga ajratilgan mablag ’	Funksiyalar
		Daromad	Qoldiq
K	xi	(3-0,002x i )x i	0,06x i
K2	y^i	(2-0,001yi )yi	0,8yi

^Adabiyotlar

1. 
   
   ^{Abramov L.M., Kapustin V.F. Matematicheskoye programmirovaniye. Teoriya vipuklogo programmirovaniya. Izd-vo: «SPbGU», 2001 g., 264 str.}
   
2. 
   
   ^{Kostevich L.S. Matematicheskoye programmirovaniye. Izd-vo: Novoye znaniye, 2003 g., 214 s.}
   
3. 
   
   ^{Korobov P.N. Matematicheskoye programmirovaniye i modelirovaniye ekonomicheskix protsessov, Izd-vo: DNK, Seriya: Klassicheskoye obrazovaniye, 2003 g., 376 str.}
   
4. 
   
   ^{Kuznesov A.V., Sakovich V.A., Xolod N.I. Visshaya matematika. Matema­ticheskoye programmirovaniye, Izd-vo: Visheyshaya shkola, 2001 g., 352 str.}
   
5. 
   
   ^{Karmanov V.G. Matematicheskoye programmirovaniye. Uchebnoye posobiye, Izd-vo: FIZMATLIT, 2001 g., 264 str.}
   
6. 
   
   ^{Safayeva Q., Beknazarova N. Operatsiyalarni tekshirishning matematik usullari. 2-qism, -Toshkent: 1990.}
   
7. 
   
   ^{Kuznesov Yu.N. i dr. Matematicheskoye programmirovaniye: Uchebnoye posobiye. - M.: Visshaya shkola. 1980. -300s.}