Тажриба иши: Энг кичик квадратлар (экк) усулининг аналитик талқини

Тажриба иши: Энг кичик квадратлар (ЭКК) усулининг аналитик талқини
Табиатнинг кўп ҳодисаларини, иқтисодий-ижтимоий жараёнларни ўрганишда, табиий фанларда, мураккаб иншоотларни лойиҳалаштириш- да иқтисодий оптимал моделлаштиришда ўтказилган синовлар асосида тўпланган маълумотлар бўйича тузилган эмпирик формулалардан фой- даланилади.
Эмпирик формулаларни ҳосил қилишнинг энг самарали усулларидан бири – бу энг кичик квадратлар (ЭКК) усулидир. ЭКК усули функцияларни экстремумга текширишда ва номаълум функ- цияларни аппроксимациялаш (текислаш) билан тузишда самарали қўлланилади.
Мазкур усулнинг матнини иккита x ва y ўзгарувчиларнинг боғланишига нисбатан келтирамиз.
Фараз қилайлик, ўтказилган n та кузатувлар натижасида x нинг кетма-кет қийматлари ҳосил қилинган. Ушбу кузатувларда y нинг ҳам мос қийматлари топилган. Кузатилган маълумотлар асосида қуйидаги жадвални тузамиз:

x	x1	x2	…	xn
y	y1	y2	…	yn

Агар ушбу жадвалдаги қийматлардан тузилган нуқталар текисликда координаталар тизимида бирорта тўғри чизиқ атрофида тарқалган бўлса, унда x ва y лар ўртасида чизиқли боғланиш мавжуд деб фараз қилинади, яъни

(3.1)

Бу ерда a₀ ва а₁ лар ҳозирча номаълум параметрлар. Равшанки, х=х_i да (3.1) формулага асосан ни ҳосил қиламиз ва кузатувлар натижасида ҳосил қилинган жадвалда келтирилган қийматлар ҳам мавжуд. Ушбу иккита ва y қийматларни ҳисоблашда маълум хатоликка йўл қўйилган деб фараз қилайлик, яъни

(3.2)
Ушбу хатоликлардан қуйидаги квадратик функционални тузамиз:
(3.3)
Бунда а₀ ва а₁ параметрларни шундай танлаш керакки, хатоликлар йиғиндисининг квадрати мумкин бўлган энг кичик қий- матга эришадиган бўлсин. S(a₀, a₁) ни иккита а₀ ва а₁ ўзгарув- чиларнинг функцияси сифатида қараб, масалани функциянинг ми- нимумини топишга келтирамиз.

Кўп ўзгарувчилик функциялар назариясига асосан экстремум мавжуд бўлишининг зарурий шартлари унинг барча ўзгарувчи- лар бўйича ҳисобланган хусусий ҳосилалари нолга тенг бўлишидан фойдаланиб, (3.3) ни дифференциаллаб, тенгламалар тизимини ҳосил қиламиз:

Ушбу тенгламаларни қулайроқ тарзда ёзиб оламиз:

(3.4)

Шундай қилиб, номаълум а₀ ва a₁ параметрларга нисбатан иккита (3.4) тенгламалар тизимини ҳосил қилдик. Ушбу тенгла- малар тизими ЭКК усулининг нормал тенгламалар тизими деб аталади. (3.4) тенгламалар тизимини ечиб, номаълум параметрларни топамиз:

(3.5)

Ушбу аниқланган а₀ , а₁ қийматларни эмпирик формулага қўйиб, қаралаётган масала функционал боғланишнинг энг яхши яқинлашувчи (аппроксимацияловчи) функциясини ҳосил қиламиз.

Агар x ва y ўртасидаги боғланиш жараёни ушбу
(3.6)
кўрсаткичли функцияси билан ифодаланган бўлса, унда номаълум параметрлар а₀ ва а₁
(3.7)

тенгламалар тизимини ечиш билан топилади.

Агар x ва y ўзгарувчилар ўртасида гиперболик боғланиш

(3.8)

мавжуд бўлса, унда унинг параметрлари а₀ ва а₁ лар ушбу

(3.9)

тенгламалар тизимидан аниқланади.

Агар нуқталар текисликда бирорта эгри чизиқ (парабола) атрофида тарқалган бўлса, унда аппроксимацияловчи функция сифатида квадрат учҳад ни олиш мумкин.

(3.10)

тенгламалар тизимини ечиш билан топилади.