Танланма хатоси ва танлармалар сонини аниқлаш. Танланма натижаларини бош тўпламда акс эттириш

2. Ўртача ва чегаравий танлама кузатиш хатолари

Юқорида таъкидлаб ўтилгандек, танлама хато фақатгина бош тўпламнинг мазмунига тавсифнома бериши мумкин, лекин унинг умумлаштирувчи кўрсаткичлари (ўртача ва салмоқ) номаълумлигича қолаверади.

Ушбу ҳолатларни бартараф этишда рус олимларидан бўлган П.Л.Чебишев ва А.М. Ляпуновлар тавсия этган ўртача танлама хато формуласидан фойдаланиб аниқлаш мумкин, яъни:
,
бу ерда
– (мю) – танлама тўпламдаги ўртачасининг хатоси;
₀² – бош тўпламдаги дисперсининг белгиси;
n – танлама тўпламдаги бирликлар сони.
Бу ерда, бош тўпламдаги дисперсия ( ₀²) номаълум бўлса, у ҳолда уни танлама тўпламдаги дисперсия ( ₀²) билан алмаштирилади, натижада қуйидаги формулага эга бўламиз:

Ушбу формула асосида танламадаги белгининг ўртача хато салмоғини ҳам аниқлаш мумкин:
,
бу ерда –танлама тўпламдаги салмоғининг ўртача хатоси;
– танлама тўпламдаги салмоқнинг белгиси;
n – танлама тўпламдаги бирликлар сони;
ёки pq - ўрганилаётган белгида дисперсиянинг салмоғи.
Юқорида келтирилган танлама тўпламнинг ўртача хато формулалари такрорланувчи танлама тўпламда қўлланилади.
Такрорланмайдиган танлама тўпламда танлама тўпламнинг ўртача хато формулалари қуйидаги кўринишга эга:
- белгининг ўртача миқдорини аниқлашда;
- белгининг ўртача салмоғини аниқлашда.
Энди ушбу формулаларни ягона жадвалда келтирилиб ўтамиз (87-жадвалга қаранг):
87-жадвал
Танлама тўпламда танлама тўпламнинг ўртача
хато ( )сини ҳисоблаш формулалари

Танлаш усули	ўртача хато
	ўртача учун	салмоқ учун
1. Такрорланувчи
2.Такрорланмайдиган

Шуни таъкидлаб ўтиш керак-ки, такрорланмайдиган танлама тўпламдаги ўртача ваколатли хато такрорланувчи танлама тўпламдаги ўртача ваколатли хатога нисбатан ўртача хатога йўл қўйилиши мумкин.

1-мисол. Фараз қилайлик, хўжаликда яшаётган аҳоли хўжалигида 260 та (N) сигирлар мавжуд бўлиб, тасодифий танлаш йўли билан (такрорланмайдиган усулда) 28 та (n) сигирлар ажратиб олинди. Текшириш натижасида қуйидагилар аниқланди:
1) Бир сигирдан бир йилда ўртача соғиб олинган сут миқдори – 2100 кг;
2) Сигирлардан йиллик ўртача соғиб олинган сут миқ-дори бўйича тафовут (ўртача квадратик тафовут- )–150 кг;
3) Хўжаликдаги жами сигирларда зотли сигирларнинг салмоғи ( ) -0,8 ёки 80 %.
Ушбу келтирилган маълумотлар асосида қуйидаги ўртача ваколатли хатони ҳисоблаймиз.
1) Сигирларнинг ўртача йиллик маҳсулдорлигини аниқлаш орқали;
2) Хўжаликдаги зотли сигирларнинг салмоғини аниқлаш орқали.
Ечим. Сигирларнинг ўртача йиллик маҳсулдорлигини аниқлаш орқали йўл қўйилган ваколатли хатони ҳисоблаймиз:

Бу деган сўз, аҳоли хўжалигида сигирлар бўйича ўртачани ҳисоблашда ҳақиқий ўртача (2100 кг) дан кўпи ёки ками билан (26,8 кг) га тафовут қиладиган даражада хатога йўл қўйилиши мумкин. Шундай қилиб, хўжалик бўйича сигирларнинг ўртача йиллик маҳсулдорлик ишонч интервали (х) ни қуйидагича аниқлаш мумкин:


2100-26,8 Х 2100+26,8

2073,2 Х 2126,8

Демак, хўжалик бўйича сигирларнинг ўртача йиллик маҳсулдорлиги бир йилда 2073,2 кг билан 2126,8 кг, оарлиғида бўлишини ишонч билан айтиш мумкин, бошқача қилиб айтганда хўжаликдаги сигирларнинг ўртача йиллик маҳсулдорлигини 2100 кг деб қаралса, ўртача ваколатли хато 26,8 кг дан ошмаслигини таъкидлаб ўтиш мумкин.
Энди хўжаликдаги зотли сигирларнинг салмоғини аниқлаш орқали йўл қўйилган ўртача ваколатли хатони ҳисоблаб чиқамиз:

(ёки= 7,2%) ни ташкил этади.
Бу деган сўз, хўжаликдаги сигирлар бўйича ўртачани ҳисоблашда ҳақиқий ўртача (80%) дан кўп ёки ками билан ( 7,2 фоиз)га тафовут қиладиган даража хатога йўл қўйилиши мумкин.
Шундай қилиб, хўжалик бўйича зотли қорамолларнинг салмоқ ишонч интервали ( )ни қуйидагича аниқлаш мумкин:

80,0 -7,2 80,0+7,2

72,8 87,2

Демак, хўжалик бўйича зотли сигирларнинг салмоғи шу йилда 72,8 фоиз билан 87,2 фоиз оралиғида бўлишини ишонч билан айтиш мумкин, бошқача қилиб айтганда, хўжаликдаги зотли сигирларнинг салмоғини 80,0 фоиз деб қаралса, ўртача ваколатли хато 7,2 фоиз дан ошмаслигини таъкидлаб ўтиш мумкин.
Ўртача ваколатли хато танлама тўпламдаги умумлаштирилган ўртачалари билан кўрсаткичларнинг (ўртача ва салмоқ) ўртачалари билан бош тўпламдаги шунга мос келувчи кўрсаткичларнинг ўртачалари ўртасидаги тавофутини тавсифлаб, бу хато турли хил физик ўлчовларда ифодаланиб, буларнинг мутлақ даражалари ҳам ҳар хил кўринишда бўлади. Буларни таққослама ҳолда бўлиши учун статистикада мутлақ даражаларни нисбий даражалар кўринишига келтирилади, яъни ваколатли ўртача хато-ишонч коэффициенти (t) орқали ифодаланади.
Бу ишонч коэффициенти (t) F(t) эҳтимоллик билан боғланган бўлиб, уни интеграл функцияли нормал тақсимланиш кўринишдаги формула орқали келтириб ўтамиз:

бу ерда (t) – танлама тўплам ўртачаси билан бош тўплам ўртачаси ўртасидаги фарқнинг ( ) ўртача квадратик тафовут га ( ) бўлинганига тенг:

Агарда, t=1 бўлганда, танлама ўртача бош тўплам ўртачасидан тафовут оралиғида жойлашган бўлади. Буни чизмада қуйидагича ифодалаш мумкин (29-чизмага қаранг) Штрихланган майдоннинг барча майдонга бўлган нисбати танлама ўртачанинг бош тўплам ўртачаси ўртасидаги тавофут оралиғидаги фарқни ифодалайди ( ) ва бу барча майдоннинг 68,0 фоизидан кўпроқ сатҳга тўғри келади.



31

30

29

Агарда t=2 бўлганда, эҳтимоллик анчагина ошади ва барча майдоннинг 95 фоизидан кўпроқ сатҳга тўғри келади (30-чизмага қаранг).

Агарда, t=3 бўлганда, штрихланган майдон барча майдоннинг 99,7 фоизини ташкил қилади (31-чизмага қаранг).
Энди (t) нинг аниқ ҳолда ифодаланишини F (t) билан боғлиқ бўлган интеграл функцияли нормал тақсимланиш формуласи орқали ҳисобланган қийматларининг айримлари келтириб ўтамиз (88-жадвалга қаранг):

88-жадвал.

Интеграл функцияли нормал тақсимланиши

t	F (t)	t	F(t)	t	F(t)	t	F(t)
0,0	0,0000	1,0	0,6827	2,0	0,9545	3,0	0,9973
0,1	0,0797	1,1	0,7287	2,1	0,9545	3,1	0,9981
0,2	0,1585	1,2	0,7699	2,2	0,9643	3,2	0,9986
0,3	0,2358	1,3	0,8064	2,3	0,9722	3,3	0,9993
0,4	0,3108	1,4	0,8385	2,4	0,9786	3,4	0,9995
0,5	0,3829	1,5	0,8664	2,5	09876	3,5	0,9995
0,6	0,4615	1,6	0,8904	2,6	0,9907	3,6	0,9997
0,7	0,5161	1,7	0,9109	2,7	0,9931	3,7	0,9998
0,8	0,5763	1,8	0,9281	2,8	0,9949	3,8	0,9998
0,9	0,6319	1,9	0,9426	2,9	0,9963	3,9	0,9999

Ушбу жадвал асосида қуйидаги фикрларни келтириб ўтамиз:

Масалан, F(t) = 0,683 га тенг бўлса, танлама бир марта ўтказилмасдан, 1000 марта ўтказилса, у ҳолда 683 мартасида бош тўплам ўртача ва салмоғи танлама тўплам салмоғидан t=1 миқдоридаги фарқ ( ) билан тафовутда бўлади. Қолган 317 мартасида ўртача ва салмоқ шу чегарадан ташқарига чиқиши мумкин.
Эҳтимоллик даражсини ошириш учун қўйилиши мумкин бўлга хато чегарасини катталаштириш керак бўлади. Бунинг учун (t) қийматимизда тафовутни икки марта оширсак, (яъни) 2 деб қабул қилсак, унда t= 2 ва 1000 та танловдан 954 мартасида бош тўплам ўртачаси ва салмоғи танлама ўртачаси ва салмоғидан икки баравар катталикдаги тавофутдан юқори тафовутда бўлмайди. Қолган 46 мартасида ўртача ва салмоқ шу чегарадан ташқарига чиқиши мумкин.
Агарда, ўртача ваколатли хато уч бараваргача оширилса (яъни, 3 деб қабул қилсак) унда t=3 га тенг бўлиб эҳтимоллик даражаси 0,997 гача яшади.
Шундай қилиб, ўртача ваколатли хато чегараси кенгайиши билан эҳтимоллик даражаси ошиб боради ва борган сари бир сонига яқинлашади.
Демак юқорида келтирилган мисолимизда ўртача (1-мисолга қаранг) ваколатли хато ( ) бир сигирдан ўртача йиллик соғиб олинган сут миқдори бўйича (26,8 кг) ни ташкил этади. Бу дегани хўжалик бўйича бир сигирдан ўртача йиллик соғиб олинган сут миқдори – 2100 кг ё у томонга ё бу томонга 26,8 кг га фарқ қилиши мумкин.
Агарда, t=1 га бўлса, F(t) = 0,683 эҳтимоллик даража билан айтиш мумкинки, ишонч интервали

кг
оралиғида жойлашади.
Агарда t=2 га тенг бўлса F(t)=0,954 эҳтимоллик даражаси билан айтиш мумкинки, ишонч интервали

кг
кг
оралиғида жойлашади.
Агарда, t=3 га бўлса, F (t) = 0,997 эҳтимоллик даражаси билан айтиш мумкинки, ишонч интервали

кг
кг
оралиғида жойлашади.
Шу тартибда хўжаликдаги зотли сигирларнинг салмоғи бўйича ҳам ўртача ваколатли хато орқали ишонч интервалини аниқлаш мумкин, яъни:


(t=1 бўлганда, F (t)=0,954 бўлса)
(t=2 бўлганда, F (t)=0,954 бўлса)





(t=3 бўлганда, F (t)=0,954 бўлса)

Агарда, ҳар бир аниқ шароитда танлама кузатиш бир маротаба ўтказилаб, олинган натижаларини баҳолаш масаласи туғилган бўлса, у ҳолда F (t) эҳтимоллик (ишонч даражаси) билан ўртача ваколатли хатоларнинг чегараларини аниқлаш усули орқали йўл қўйилиши мумкин бўлган хато ҳисобланади.

;
ўртачанинг чегаравий хатоси;
салмоғининг чегаравий хатоси;
t - ишонч коэффициенти;
Ушбу формулалар асосида ишонч коэффициенти (t)ни ҳам топиш мумкин, яъни:
;
Масалан, бир сигирдан бир йилда ўртача 2200 кг сут соғиб олиниши шу даврда 22,5 кг фарқланмаслиги шарти билан (агарда, ваколатли ўртача хато =9,37 тенг бўлса) ишонч коэффициенти (t) ни қуйидагича аниқлаш мумкин:

Бу олинган натижани интеграл функцияли нормал тақсимланиш жадвалидан (88-жадвалга қаранг) F (t) –ни эҳтимолликнинг ҳисобланган қийматини топиб оламиз, яъни:
t=2,4 бундан F(t)= 0,978 га тенг бўлади.
Демак, F(t) = 0,978 ишонч билан шуни таъкилаб ўтиш мумкинки, бир сигирдан бир йилда ўртача 2200 кг сут олинганда кўпи ёки ками билан ( 22,5 кг)га тафовут да бўлиши мумкин.
Биз бу ерда фақатгина ўртачанинг чегаравий хато формуласидан фойдаланиб унинг ишонч коэффициенти (t) ни ҳисоблаш усулини келтриб ўтдик. Шу тартибда салмоқнинг чегаравий хато формуласидан ҳам фойдаланиб унинг ишонч коэффициенти (t) ни ҳисоблаш мумкин бўлади.

Шундай қилиб, юқорида келтирилган формулалар асосида тасодифий ва механик танлама учун бўлган ягона чегаравий хато формулаларини келтириб ўтамиз (89-жадвалга қаранг).

89-жадвал.

Танлама тўпламда йўл қўйиши мумкин бўлган чегарвий
хато ( ) ни тасодифий ва механик танлама учун ҳисоблаш формулалари

Танлаш усули	Йўл қўйилиши мумкин бўлган хато
	ўрта учун	салмоқ учун
Такрорланувчи
Такрорланмайдиган

Шу тартибда типик ва серияли танлама учун ҳам чегарвий хато формулаларини келтириб ўтамиз (90 ва 91-жадвалларга қаранг).

90-жадвал

Танлама тўпламда йўл қўйилиши мумкин бўлган чегаравий
хато ( ) ни типик танлама учун ҳисоблаш формулалари

Танлаш усули	Йўл қўйилиши мумкин бўлган хато
	ўртача учун	салмоқ учун
Такрорланувчи
Такрорланмайдиган

Бу ерда ² ва - умумий дисперсия ўрнига дисперсия қисмларининг ўртачаси олинади.
91-жадвал
Танлама тўпламда йўл қўйилиши мумкин бўлган чегаравий
хато ( ) ни серияли танлама учун ҳисоблаш формулалари

Танлаш усули	Йўл қўйилиши мумкин бўлган хато
	ўртача учун	салмоқ учун
Такрорланувчи
Такрорланмайдиган

Бу ерда – S – бош тўпламдаги серияларнинг умумий сони;

s – танлама тўпламдаги серияларнинг умумий сони;

- гуруҳлардаги белги салмоғининг ўртачаси
Демак, серияли танламада дисперсия кўрсаткичлари ўрнига гуруҳлараро дисперсия олинади.
Энди йўл қўйилиши мумкин бўлган хатони ҳисоблаш тартибини қуйидаги мисолда кўриб чиқамиз.
Мисол. Чорвачиликка ихтисослашган хўжаликда 480 қўй мавжуд бўлиб, шундан 48 тасида назорат тартибида қирқим амалга оширилиши натижасида бир қўйдан ўртача 3,0 кг жун олинган бўлиб, ўртача квадратик тафовут 0,6 кг ни ташкил этади.
F(t) = 0,954 эҳтимоллик билан танлама тўпламнинг чегаравий хатосини ҳисоблаб чиқамиз.
Ечим: Ушбу мисолимизда келтирилган маълумотларни белгилаб оламиз:
N = 480 бош;
n = 48 бош;
F (t) = 0,954, бундан t=2
= 0,6 кг.


= ?





F(t)=0,954 эҳтимоллик даражаси билан шуни таъкидлаш мумкин-ки, бир қўйдан ўртача қирқиб олинган жун миқдори – 3,0 кг ё у томонга, ё бу томонга 0,2 кг га фарқ қилиши мумкин.
Айрим ҳолларда, кичик танлама (n<20) усули ҳам қўлланилади. Бу кичик танлама усули тажриба хўжаликларида янги навларни синаб кўришда, чорвачиликда чорва молларнинг ўсган вазнини ҳисоблашда ишлаб чиқарилган маҳсулотларнинг сифатини аниқлашда ва шу каби ҳолатларда фойдаланилади.
Кичик танламани ҳисоблашда қуйидаги формула қўлланилади:


бу ерда (n-1) – эркин ўзгарувчи бирликлар сони;