Tasodifiy miqdor dispеrsiyasi

2-misol. Binomial qonun bilan taqsimlangan tasodifiy miqdorning dispersiyasi topilsin.
Yechish: va bo`lganligi uchun (3) ga asosan:

3-misol. Puasson qonuni bilan taqsimlangan tasodifiy miqdorning dispersiyasi topilsin.
Yechish: Bizga ma`lumki , va . (3) tenglikka asosan
(4)

bo`lgani uchun (4) dan

Demak, Puasson qonuni bilan taqsimlangan tasodifiy miqdorning matematik kutilmasi va o`rta qiymati o`zaro teng ekan.
Endi uzluksiztasodifiy miqdor dispersiyasining ta`rifini beramiz.
tasodifiy miqdorning zichlik funksiyasi bo`lsin.
2-ta`rif: uzluksiz tasodifiy miqdorning dispersiyasi deb quyidagi
(5)
integralning qiymatiga aytiladi.
4-misol. normal tasodifiy miqdorning dispersiyasi topilsin.
Yechish: ekanini e`tiborga olsak (5) dan:

almashtirishni olsak: , bo`lgani uchun

Bu integralni:

ko`rinishida yozib, bo`laknab integrallasak

ga ega bo`lamiz.
Demak, - normal tasodifiy miqdorning dispersiyasi ikkinchi parametrning kvadratiga teng ekan.
5-misol. parametrli eksponensial qonun bo`yicha taqsimlangan tasodifiy miqdorning dispersiyasi topilsin.
Yechish: va bo`lganligi uchun

bo`ladi.

6-misol. kesmada tekis taqsimlangan tasodifiy miqdorning dispersiyasi topilsin.
Yechish: Bizga ma`lumki, bu holda

va bo`lganligi uchun

.
Agar tasodifiy miqdor taqsimot funksiyaga ega bo`lsa,
(7)
bo`ladi.
Dispyersiya ta`rifidan ko`rinadiki, tasodifiy miqdorlar dispersiyasi uning qiymatlarining o`rta qiymati atrofida tarqalish darajasini xaraktyerlaydi.
Endi dispyersiyaning xossalari bilan tanishib chiqamiz.
1-xossa. O`zgarmas sonning dispersiyasi nolga teng.
Isbot: Dispyersiyaning ta`rifi va matematik kutilmaning xossasiga asosan,

2-xossa. O`zgarmas sonni kvadratga oshirib, dispyersiya ishorasidan tashqariga chiqarish mumkin, ya`ni

Isbot: Ta`rifga asosan

3-xossa. O`zaro bog`liq bo`lmagan tasodifiy miqdorlar yig`indisining dispersiyasi bu tasodifiy miqdorlar dispyersiyalarining yig`indisiga teng, ya`ni
.
Isboti: Dispersiya ta`rifi va matematik kutilmaning xossasidan foydalansak:

(8)
va lar o`zaro bog`liq bo`lmaganligidan va lar o`zaro bog`liq emasligi kelib chiqadi:

bo`ladi. Buni e`tiborga olsak, (8) dan xossanig isboti kelib chiqadi.
1-natija. Chekli sondagi o`zaro bog`liq bo`lmagan tasodifiy miqdorlar yig`indisining dispersiyasi ular dispyersiyalarining yig`indisiga teng ya`ni

Isbot. Ta`rifga asosan

(9)
Ixtiyoriy va larning o`zaro bog`liq emasligidan va bog`liqmasligi kelib chiqadi va

(9) da buni e`tiborga olsak, natijaning isboti kelib chiqadi.
tasodifiy miqdor berilgan bo`lsin. Odatda tasodifiy miqdorni normallashtirilgan va markazlashtirilgan tasodifiy miqdor deyiladi.