Tasodifiy miqdorlar va ularning taqsimotlari bernulli sxemasi

Teorema 1.1. Ushbu , ehtimollik uchun ushbu

formula о‘rinli.
Isbot. ehtimollikning ta’rifiga kо‘ra, deyarli ravshanki,
. (1.6)
Nyuton binomi formulasiga kо‘ra
(1.7)
Ikkinchi tomondan (1.5) tenglikni ushbu
(1.8)
shaklda yozib olish mumkin. Yuqorida hosil qilingan (1.7) tenglikni ga kо‘paytirib, (1.8) tenglikka hadlab qо‘shsak,
.
Oxirgi tenglikda (1.6) formulani hisobga olsak, ushbu

formulani hosil qilamiz.
Teorema isbot bо‘ldi.
Biz о‘rganayotgan ushbu formula Bernulli formulasi deb nomlanadi. Bu formulani har bir tajribada ehtimolligi о‘zgarmas bо‘lgan biror hodisaning ta bog‘liqsiz tajribalardan roppa-rosa tasida rо‘y berish ehtimolligi sifatida talqin qilish mumkin. Bernulli formulasining sodda kо‘rinishiga qaramasdan yetarlicha katta larda undan foydalanish birmuncha noqulayliklarni vujudga keltiradi. Bunday holga, ayniqsa, tayinlangan yetarlicha katta va larda hisoblash jarayonida emas, balki aniq ekstremal masalalarda duch kelamiz. Shu munosabat bilan muayyan shartlar bajarilganda ni hisoblashda taqribiy hisoblash usullari keng qо‘llaniladi. Shu munosabat bilan keyingi paragrafda isbotlanadigan teoremada tajribalar soni yetarlicha katta bо‘lganda har bir tajribada rо‘y berish ehtimolligi juda kichik bо‘lgan hodisalarning ehtimolligini hisoblash formulasi keltiriladi.
Ehtimollikning asimptotasi. Dastlab bitta lemma isbotlaymiz.
Lemma 1.1. Agar , , bо‘lsa, ushbu
(1.9)
tengsizlik о‘rinli.
Isbot. Matematik induksiya usulidan foydalanamiz. uchun (1.9) ning tо‘g‘riligi ravshan. Faraz qilaylik, (1.9) tengsizlik biror uchun tо‘g‘ri. Bu tengsizlikni uchun tо‘g‘ri ekanligini isbotlaymiz. Farazimizdan foydalanib, quyidagilarga ega bо‘lamiz:

Oxirgi tengsizlikni hosil qilishda biz shartdan foydalandik.
Lemma isbot bо‘ldi.
Quyidagi teoremani isbotlashda yuqoridagi lemmadan foydalanamiz.