Tasodifiy miqdorlar va ularning taqsimotlari bernulli sxemasi

Uzluksiz hol. – taqsimot funksiyasi va zichlik funksiyasi bilan berilgan uzluksiz tasodifiy miqdor bо‘lsin. - monoton о‘suvchi funksiya, - unga teskari funksiya bо‘lsin. U holda uzluksiz tasodifiy miqdorning taqsimot funksiyasi quyidagicha topiladi:

Oxirgi tenglikni bо‘yicha differensiallab, quiydagini hosil qilamiz:
,
bu tenglikdan uzluksiz tasodifiy miqdorning zichlik funksiyasi uchun formula kelib chiqadi:

- monoton kamayuvchi funksiya, - unga teskari funksiya bо‘lsin. U holda yuqoridagi mulohazalardan sо‘ng quyidagi formulani hosil qilamiz:
; .
Shunday qilib, agar uzluksiz tasodifiy miqdor zichlik funksiyasi bilan berilgan bо‘lib, differensiallanuvchi, monoton о‘suvchi yoki monoton kamayuvchi funksiya va unga teskari funksiya bо‘lsa, u holda tasodifiy miqdorning zichlik funksiyasi quyidagi tenglikdan aniqlanadi:

Amaliyotda asosan - monoton funksiya bо‘lgan holda qо‘llaniladi.
Agar - funksiya aniqlanish sohasida monoton bо‘lmasa, u holda bu sohani funksiya monotonik oraliqlariga bо‘linib, har bir monotonik oralig‘i uchun zichlik funksiyasini aniqlash va yig‘indi shaklida tasvirlash kerak bо‘ladi.
Ikki tasodifiy argument funksiyasi. Kompozitsiya formulasi. Agar tasodifiy miqdorning har bir juftligida biron tasodifiy miqdorning bitta qiymati mos kelsa, u holda ikki tasodifiy argument funksiyasi deyiladi.
2 ta bog‘liqsiz tasodifiy miqdorlar yig‘indasining zichlik funksiyasi qо‘shiluvchilarning zichlik funksiyalari va yordamida kompazitsiya formulasidan aniqlanadi:
yoki .
Agar argumentlarning qiymatlar tо‘plami manfiy bо‘lmasa, u holda tasodifiy miqdorning zichlik funksiyasi quyidagi formuladan topiladi:
yoki .
2 ta о‘zaro bog‘liq bо‘lmagan tasodifiy miqdorlar yig‘indisi ning taqsimot funksiyasi quyidagi formuladan topiladi:

2 ta о‘zaro bog‘liq bо‘lmagan deskret tasodifiy miqdorlar uchun ham kompazitsiya formulasi mavjud:

bunda .
Ikki tasodifiy miqdor sistemasi. Ikki о‘lchovli tasodifiy miqdor orqali belgilanadi. Bunda va tasodifiy miqdorlarning har biri “tashkil etuvchilar” yoki “kompanentalar” deb, ular birgalikda esa “ikki tasodifiy miqdor sistemasi” deb ataladi.
Ikki о‘lchovli tasodifiy miqdorning taqsimot funksiyasi formulaga aytiladi:

Taqsimot funksiyasining xossalari:
1.
2. ikkala argumenti bо‘yicha kamaymaydigan funksiya:
agar bо‘lsa;
agar bо‘lsa;
3. .
4. ;
5. tasodifiy nuqtaning uchlari da bо‘lgan tо‘rtburchakka tushish ehtimolligi quyidagi formuladan topiladi:

bu yerda .
Ikki о‘lchovli deskret tasodifiy miqdor deb tashkil etuvchilari diskret bо‘lgan tasodifiy miqdorlar sistemasiga aytiladi.
Ikki о‘lchovli uzluksiz tasodifiy miqdor deb tashkil etuvchilari uzluksiz bо‘lgan tasodifiy miqdorlar sistemasiga aytiladi.
Ikki о‘lchovli diskret tasodifiy miqdor taqsimot qonuni deb ularning qabul qiluvchi qiymatlarining barcha juftliklari va bu juftliklarning ehtimolliklari kо‘rsatilgan jadvalga aytiladi.
Ikki о‘lchovli uzluksiz tasodifiy miqdorlar sistemasining zichlik funksiyasi deb sistemaning taqsimot funksiyasidan olingan 2-tartibli aralash hosilasiga aytiladi:
Zichlik funksiyasi xossalari:
1. .
2. .
3. .
4. tasodifiy nuqtaning uchlari da bо‘lgan tо‘rtburchakka tushish ehtimoli quyidagi formuladan topiladi:

va tasodifiy miqdorlar bog‘liqsiz deyiladi, agar ulardan ixtiyoriy birining taqsimot qonuni ikkinchi tasodifiy miqdorning qanday qiymat qabul qilganiga bog‘lig bо‘lmasa.
Teorema (2 tasodifiy miqdorlar bog‘liqsiz bо‘lishining zarur va yetarli sharti): Ikki va tasodifiy miqdorlar bog‘liqsiz bо‘lishi uchun - Ikki о‘lchovli tasodifiy miqdorning taqsimot funksiyasi tashkil etuvchilari taqsimot funksiyalarining kо‘paytmasiga teng bо‘lishi zarur va yetarli:

Natija: Ikki va tasodifiy miqdorlar bog‘liqsiz bо‘lishi uchun - Ikki о‘lchovli tasodifiy miqdorning birgalikdagi zichlik funksiyasi tashkil etuvchilari zichlik funksiyalarining kо‘paytmasiga teng bо‘lishi zarur va yetarli:
.
Ikki va tashkil etuychilarning matematik kutilmasi va dispersiyasi hamda tasodifiy nuqtaning sohaga tushush ehtimolini topish formulalari quyidagi jadvalda keltirilgan:

va deskret tasodifiy miqdorlar	va uzluksiz tasodifiy miqdorlar

sonlar va tasodifiy miqdorlarning о‘rtacha kvadratik chetlashishi deyiladi.
nuqta - 2 о‘lchovli tasodifiy miqdorning sochilish markazi deyiladi.