Tasodifiy miqdorlar va ularning taqsimotlari bernulli sxemasi

Teorema 1.2. Bog‘liqsiz tajribalar seriyasida muvaffaqiyat ehtimolligi bо‘lsin. Agar da va , , bо‘lsa, u holda barcha sonlar uchun
. (1.10)
Isbot. Dastlab koeffitsiyentni tahlil qilaylik. Ta’rifga kо‘ra

va faqat bо‘lgan holni qarash bilan kifoyalanish mumkin. Ikkinchi tomondan

Bu yerdan esa
. (1.11)
Agar ni tayinlasak, (1.11) tenglikdan

ekanligini hosil qilamiz. YA’ni,
.
Oxirgi munosabat shuni bildiradiki, yetarlicha katta bо‘lganda son о‘rniga sonni qarash mumkin. Quyida bunday approksimatsiyaning xatoligini baholaymiz.
(1.11) tenglikning о‘ng tomonidagi kо‘paytmaga (1.9) tengsizlikni qо‘llab, quyidagini topamiz:

Ikkinchi tomondan ravshanki, (1.11) tenglikning о‘ng tomonidagi kо‘paytuvchilarning har biri birdan kichik miqdorlar. Demak,
.
Oxirgi tengsizlikni miqdorga kо‘paytirib, ushbu
(1.12)
tengsizliklarga ega bо‘lamiz. Deyarli ravshanki, har bir tayinlangan uchun:
; (1.13)
teorema shartlariga kо‘ra
; (1.14)
. (1.15)
Nihoyat,
(1.16)
Hosil qilingan (1.13) – (1.16) munosabatlardan foydalanib, (1.12) tengsizliklardan topamizki,
.
Teorema isbot bо‘ldi.
Teorema 1.2. da hosil qilingan asimptotik miqdor

ehtimollik taqsimoti tashkil etadi. Haqiqatan ham
.
Agar diskret tasodifiy miqdor uchun

bо‘lsa, u Puasson taqsimoti bilan taqsimlanagn tasodifiy miqdor deyiladi. Shunday qilib, Bernulli sxemasida muvaffaqiyatlar soni asimptotik Puasson taqsimoti bilan taqsimlangan miqdorga yaqinlashar ekan. Shuning uchun ibotlanagn Teorema 1.2 ehtimolliklar nazariyasida Puasson teoremasi deb nomlanadi.
ADABIYOTLAR RО‘YXATI

1. 
   A.A.Borovkov. Teoriya veroyatnostey. Moskva, «Nauka», 1986.
   
2. 
   A.N.Shiryayev. Veroyatnost. Moskva, «Nauka», 1980.
   
3. 
   B.V.Gnedenko. Kurs teorii veroyatnostey. Moskva, «Nauka», 1969.
   
4. 
   V.Feller. Vvedeniye v teoriyu veroyatnostey i yeye prilojeniY. T. 1,2. Moskva, «Mir», 1984.
   
5. 
   G.M.Fixtengols. Kurs differensialnogo i integralnogo ischisleniY. T.1,2,3. Moskva, «Nauka», 1970.
   
6. 
   A.A.Abdushukurov, T.A.Azlarov, A.A.Djamirzayev «Ehtimollar
   

nazariyasi va matematik statistikadan misol va masalalar tо‘plami»
Toshkent, «Universitet», 2003 y.