Tayanch so’zlar

Reja:

1. 
   Masalaning qo’yilishi
   
2. 
   Chiziqli interpolyatsiyalash
   
3. 
   Kvadratik interpolyatsiyalash
   
4. 
   Lagranj interpolyatsion ko‘phadi
   

Tayanch so’zlar: funksiya, Lagranj ko’phadi, interpolyatsiya, approksimatsiya, maqsad funksiyasi, chiziqli interpolyatsiya, kvadratik interpolyatsiya

1. Masalaning qo‘yilishi

Ko‘pincha amaliy masalalarni yechishda qandaydir
y  f (x)
funksional

bog‘lanishlar qiymatlarini hisoblashga to‘g‘ri keladi. Bunday masalalarda ikkita holat bo‘lishi mumkin:

1. 
   [a, b] oraliqda х va y orasidagi oshkor bog‘lanish ma’lum bo‘lmasdan,
   

faqat {x_i, y_i},

i  1, n
tajriba ma’lumotlari jadvali ma’lum bo‘lib, [x_i, x_i/2]  [a, b]

oraliqda
y  f (x)
bog‘lanishni aniqlash talab qilinadi. Bu masalaga tajriba

ma’lumotlari jadvalidagi qiymatlarni aniqlashtirish vazifasi ham kiradi.

2. 
   y 
   

f (x)
bog‘lanish ma’lum va uzluksiz, biroq u shu qadar murakkabki,

amaliy hisoblashlar uchun yaramaydi. Bunday holda
b
y  f (x)
funksiyani va uning

⁽ f ^(x),
max f (x),
_ f (x)dx,
a
va h.k.) xarakteristikalarini hisoblash ishlarini

soddalashtirish masalasi ko‘ndalang bo‘ladi.
Shuning uchun moddiy resurslarni va vaqtni iqtisod qilish maqsadida qandaydir boshqa funksional bog‘lanish y=F(x) ni tuzish zarurati paydo bo‘ladi. Bu

tuzilgan bog‘lanish
y  f (x)
ga uning asosiy parametrlari bo‘yicha yaqin bo‘lishi,

hisoblash oson va qulay bo‘lishi kerak, ya’ni
y  f (x)
funksiyaning aniqlanish

sohasida yaqinlashtirish (approksimatsiyalash) masalasi hal qilinishi kerak.
y = F(x) funksiyaga approksimatsiyalovchi funksiya deyiladi.
Bunday tipdagi masalalarni yechishda asosiy yondoshuv quyidagicha:

tajribaning qandaydir ozod parametrlariga bog‘liq bo‘lgan ^{tanlanadi, ya’ni y = F(x) = (x, c1, c2, …, cn) = (x,}c ^).
y  F(x)
funksiya

f(x) va F(x) funksiyalarning qandaydir yaqinlik shartidan c vektor tanlanadi. c
vektorni tanlash usullariga ko‘ra approksimatsiyaning turli ko‘rinishlari mavjud.

Agar yaqinlashish biror {x_i}, i=1, n diskret to‘plamda qurilsa, u holda
approksimatsiyaga nuqtaviy approksimatsiya deyiladi.
Nuqtaviy approksimatsiyalash turlariga: interpolyatsiyalash; o‘rtacha kvadratik yaqinlashish kiradi.

2. Chiziqli interpolyatsiyalash

Chiziqli interpolyatsiyada jadvalda berilgan (x_i, y_i), ( i  0, n ) nuqtalar to‘g‘ri chiziqlar bilan birlashtiriladi va dastlabki berilgan f(х) funksiya [а; b] oraliqda uchlari interpolyatsiya tugunlaridan iborat siniq chiziqqa yaqinlashadi.
Umumiy holda qismiy oraliqlar [x_i–1, x_i][a, b] turlicha bo‘ladi. Har bir siniq
chiziq kesmasi uchun (x_i–1, y_i–1) va (x_i, y_i) nuqtalardan o‘tuvchi to‘g‘ri chiziq tenglamasini yozish mumkin. Xususiy holda, i- interval uchun 2 nuqtadan o‘tuvchi to‘g‘ri chiziq tenglamasi quyidagicha bo‘ladi:

y  y_{i 1 }
^yi ^{ y}i 1
x  x_{i 1} ^xi ^{ x}i 1

U holda ishchi formula:
y  a_ix_T  b_i ,
^xi 1 ^{ x}T
 x_i ,
(5)

bunda

1. 
   _ ^yi ^{ y}i1 _,
   
2. 
    y
   

• 
  a x
  

^, i 1, n ^.

i
x_i  x


i1
i i1
i i1

1-chizmadan ko‘rish mumkinki, (5) formulani amalga oshirish uchun oldin x_T qiymat tushadigan oraliqni aniqlash kerak, so‘ngra bu oraliq chegaralaridan foydalanish mumkin.
y


y ₁
y ₀


x
Chizma 1.

Tugunlardan tashqari nuqtalarda nazariy xatolik R(x) = f(x) – F(x)  0.

R (x)  ^{M 2} h² ,
bunda М₂ = max
f ^(x)
, х[x_i–1, x_i].

1 ₈

Misol. Jadval bilan berilgan
y  f (x)
funksiya qiymatini x = 0,4 bo‘lgan

hol uchun chiziqli interpolyatsion formuladan foydalanib hisoblang:

i	0	1	2	3
xi	0	0,1	0,3	0,5
yi	–0,5	0	0,2	1

Yechilishi: (5) ga asosan ishchi formulani yozib olamiz:

y = a_ix + b_i
^xi 1 ^{ x}T
 x_i ,

bunda

1. 
   _ ^yi ^{ y}i1 _,
   
2. 
    y
   

• 
  a x
  

^, i 1, n

i
x_i  x


i1
i i1
i i1

x_t = 0,4; 0,3  x_t 0,5;
Jadvaldagi x_i–1 = 0,3; x_i = 0,5; y_i–1 = 0,2; y_i = 1 qiymatlar yordamida

koeffitsiyentlarni hisoblaymiz:
_{a } ^yi ^{ y}i1 _
1  0,2
 ^0,8  4;

i
^xi ^{ x}i1
0,5  0,3
0,2

b_i  y_i1  a_i x_i1  0,2  4  0,3  1;
Demak, y = 4x–1 funksiya ko‘rinishi aniqlandi. Endi x=0,4 qiymat uchun hosil bo‘lgan chiziqli funksiyaning son qiymatini aniqlaymiz: y = 40,4 – 1 = 0,6.

2. Kvadratik (parabolik) interpolyatsiyalash

Kvadratik interpolyatsiyada interpolyatsion ko‘phad sifatida [x_i–1, x_i+1][а, b] oraliqdan olingan kvadrat uchhad qaraladi:

y  a_i x²  b_i x  c_i ,
^xi1
 x_T
^{ x}i1
(6)

Bunda a_i, b_i, c_i koeffitsiyentlarni aniqlash uchun (3) shart asosida tenglamalar sistemasi tuziladi, masalan:

^{a x2}

• 
  b x  c  y ;
  

i i 1
i i 1 i
i 1

^a x²  b x  c  y ;
(7)

^ i i i i i i
^a x²  b x  c  y .

 ^{i i 1}
i i 1 i
i 1

Hisoblash algoritmi yuqoridagi mavzuga o‘xshash, biroq (5) munosabat o‘rniga (7) sistemani yechish maqsadida (6) munosabatdan foydalaniladi. Ravshanki, x_T[x₀, x_n] uchun 3 ta eng yaqin nuqtalar olinadi.
Usulning grafik tasviri quyidagicha:

x)


^{x0 x1} x₂

Chizma 2.

Interpolyatsiya tugunlaridan tashqarida nazariy xatolikni topish formulasi:

R(x) =(x – x₀)  (x – x₁)  (x – x₂)
f ^x_.
6

Misol. Jadval bilan berilgan
y  f (x)
funksiya qiymatini x=0,4 bo‘lgan hol

uchun kvadratik interpolyatsion formuladan foydalanib hisoblang:

i	0	1	2	3
xi	0	0,1	0,3	0,5
yi	–0,5	0	0,2	1

Yechilishi: (6) ga asosan ishchi formulani yozib olamiz:

y=a_ix²+b_ix+c_i
^xi1 ^{ x}T
^{ x}i1 ^.

a_i, b_i, c_i koeffitsiyentlarni aniqlash uchun (7) ga ko’ra tenglamalar sistemasini tuzish kerak. Buning uchun x_t = 0,4 nuqtaga eng yaqin bo‘lgan 3 ta nuqtani tanlaymiz: x_i–1 = 0,1; x_i = 0,3; x_i+1 = 0,5.
y_i–1 = 0; y_i = 0,2; y_i+1 = 1.
va mos tenglamalarni hosil qilamiz:

a x²  b x
^{ c  y } _ 0,01a
 0,1b  c
 0;

i i 1 2
i i 1 i i 1 _{   i i i}

^{ai xi  bi xi  ci  yi} _{ }0,09a_i  0,3b_i  c_i  0,2;

a x² ₁  b x

• 
  c  y ^
  

^ 0,25a_i  0,5b_i  c_i  1;

i i 
i i 1 i
i 1 _ 

Tenglamalar sistemasini matritsaviy ko‘rinishda yozib olamiz:

0,01

0,09	0,3 1	; B =	0,2	^;X ^=^b^  
0,25	0,5 1		1	c 

A =
0,1 1
⁰ ^a
^=A– B ^.

A^–1 teskari matritsani hisoblab topamiz:

_A–1 ₌


a


X ⁼ _b ⁼
c
75


6
 10
15

8
75

6
 10
15
8
 75



3
45 ^;

3
_ 10

8
_ 75 25


3 2
45 _{ 5}
3
_ 10 3
8 8
0
0,2 ^;
1

Matritsalarni ko‘paytirib, a, b, c koeffitsiyentlarni aniqlaymiz:

a = 0 –
75 _ 1 _ 25
= 7,5; b = –2; c = 0,125;

3 5 2
Natijada izlangan funksiya ko‘rinishini olamiz: y = 7,5x² – 2x + 0,125.
Endi x = 0,4 qiymat uchun hosil bo‘lgan kvadratik funksiyaning son qiymatini aniqlaymiz. Natija y = 0,525 ga teng.